Номер 8, страница 332 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 8, страница 332.

Условие.

8. Функция Эйлера. Теорема Эйлера Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел: сборник задач для математических классов. — М.: МЦНМО, 2002.

2) Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.

3) Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: задачи с целыми числами. — Челябинск : Взгляд, 2005.

4) Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М.: МЦНМО, 2004.

5) Заславский А.А. и др. Математика в задачах. — М.: МЦНМО, 2009.

6) Кириллов А. О правильных многоугольниках, функции Эйлера и числа Ферма // Квант. — 1977. — № 6.

7) Сендеров В., Спивак А. Малая теорема Ферма // Квант. — 2000. — № 1, 3, 4.

8) Спивак А.В. Арифметика. — М.: Бюро Квантум, 2007.

9) Эвнин А.Ю. Задачи по дискретной математике. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011.

10) Ядренко М.И. Принцип Дирихле и его применение. — Киев : Вища школа, 1985.

11) http://www.problems.ru/ — Задачи из разных разделов математики.

Решение.

На изображении представлен список рекомендуемой литературы и интернет-ресурсов по теме "Функция Эйлера. Теорема Эйлера". Поскольку конкретной задачи или вопроса в списке нет, будет дан развернутый ответ, раскрывающий суть этих понятий, которые можно считать подпунктами исходной темы.

Функция Эйлера

Функция Эйлера, обозначаемая как $ \phi(n) $ (также известная как фи-функция Эйлера или тотиент Эйлера), — это арифметическая функция, которая для заданного натурального числа $n > 1$ показывает количество натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с ним. Для $n=1$ по определению принимается $\phi(1) = 1$.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Свойства и вычисление функции Эйлера:

1. Если $p$ — простое число, то все числа от 1 до $p-1$ взаимно просты с $p$. Следовательно, $ \phi(p) = p-1 $.
2. Если $p$ — простое число и $k \ge 1$ — натуральное, то $ \phi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^k(1 - \frac{1}{p}) $. Это следует из того, что с $p^k$ не являются взаимно простыми только числа, кратные $p$. Таких чисел среди первых $p^k$ натуральных чисел ровно $p^{k-1}$ (это $p, 2p, \dots, p^{k-1} \cdot p$).
3. Функция Эйлера является мультипликативной. Это означает, что если числа $m$ и $n$ взаимно просты (НОД(m, n) = 1), то $ \phi(mn) = \phi(m)\phi(n) $.
4. Используя основную теорему арифметики о разложении числа на простые множители, можно получить общую формулу. Если каноническое разложение числа $n$ имеет вид $ n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} $, где $p_i$ — различные простые числа, то $ \phi(n) = \phi(p_1^{k_1}) \phi(p_2^{k_2}) \cdots \phi(p_r^{k_r}) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_r}\right) $.

Пример: Найдем $ \phi(12) $.
Числа, меньшие 12 и взаимно простые с ним: 1, 5, 7, 11. Таких чисел 4. Значит, $ \phi(12) = 4 $.
Используя формулу:
Каноническое разложение $ 12 = 2^2 \cdot 3^1 $.
$ \phi(12) = 12 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 4 $.
Результаты совпадают.

Ответ: Функция Эйлера $ \phi(n) $ определяет количество натуральных чисел, не превосходящих $n$ и взаимно простых с ним. Она вычисляется по формуле $ \phi(n) = n \prod_{p|n} (1 - \frac{1}{p}) $, где произведение берется по всем различным простым делителям $p$ числа $n$.

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера является одним из фундаментальных результатов теории чисел и обобщает малую теорему Ферма.

Формулировка: Если натуральные числа $a$ и $n$ взаимно просты (то есть, НОД(a, n) = 1), то $ a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} $

Это означает, что при делении числа $a^{\phi(n)}$ на $n$ в остатке получается 1.

Следствие (Малая теорема Ферма): Если $p$ — простое число и $a$ — целое число, не делящееся на $p$, то $ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $. Это частный случай теоремы Эйлера, поскольку для простого $p$ значение функции Эйлера $ \phi(p) = p-1 $.

Применение: Теорема Эйлера широко используется в криптографии, в частности, в криптосистеме с открытым ключом RSA. Она также полезна для нахождения остатков от деления больших степеней чисел.

Пример: Найдем остаток от деления $ 7^{100} $ на 12.
Сначала проверим, что числа 7 и 12 взаимно просты. НОД(7, 12) = 1, так как 7 — простое число и 12 на него не делится. Условие теоремы Эйлера выполнено.
Мы уже вычислили, что $ \phi(12) = 4 $.
Согласно теореме Эйлера, $ 7^4 \equiv 1 \pmod{12} $.
Теперь представим степень 100 через 4: $ 100 = 4 \cdot 25 $.
Тогда $ 7^{100} = 7^{4 \cdot 25} = (7^4)^{25} $.
Поскольку $ 7^4 \equiv 1 \pmod{12} $, то $(7^4)^{25} \equiv 1^{25} \pmod{12} $.
Следовательно, $ 7^{100} \equiv 1 \pmod{12} $.
Остаток от деления $ 7^{100} $ на 12 равен 1.

Ответ: Теорема Эйлера утверждает, что если числа $a$ и $n$ взаимно просты, то $ a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} $, где $ \phi(n) $ — функция Эйлера. Эта теорема позволяет эффективно вычислять остатки от деления больших степеней чисел.