Номер 4, страница 330 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 4, страница 330.

Условие.

4. Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения

Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Вагутен В.Н. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики // Квант. — 1972. — № 6.

2) Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. — Челябинск : Взгляд, 2005.

3) Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. — М. : Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).

4) Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984.

5) Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004.

6) Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. — 1980. — № 6.

7) Факультативный курс по математике : 7–9 / сост. И.Л. Никольская. — М. : Просвещение, 1991.

8) http://school-collection.edu.ru/catalog/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

9) http://mmmf.msu.ru/ — Малый мехмат МГУ.

Решение.

На изображении представлен список литературы по теме "Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения". Развернутый ответ по этой теме включает объяснение самого алгоритма и его применение для решения уравнений.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида — это эффективный метод для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Он основан на принципе, что наибольший общий делитель двух чисел не изменится, если большее число заменить на разность этих двух чисел. В более современной версии алгоритма используется остаток от деления.

Пусть нам нужно найти НОД для двух чисел $a$ и $b$, где $a > b$. Алгоритм выглядит следующим образом:

1. Разделим $a$ на $b$ с остатком: $a = q_1 b + r_1$, где $0 \le r_1 < b$.
2. Если остаток $r_1 = 0$, то НОД$(a, b) = b$.
3. Если остаток $r_1 \neq 0$, то заменяем пару $(a, b)$ на пару $(b, r_1)$ и повторяем шаг 1.
4. Процесс продолжается до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. Последний ненулевой остаток и будет НОД$(a, b)$.

Пример: Найдем НОД(1071, 462).

• Шаг 1: $1071 = 2 \cdot 462 + 147$
• Шаг 2: $462 = 3 \cdot 147 + 21$
• Шаг 3: $147 = 7 \cdot 21 + 0$

Остаток равен нулю. Последний ненулевой остаток — это 21. Следовательно, НОД(1071, 462) = 21.

Расширенный алгоритм Евклида позволяет не только найти НОД($a, b$), но и представить его в виде линейной комбинации чисел $a$ и $b$, то есть найти такие целые числа $x$ и $y$, что $ax + by = \text{НОД}(a, b)$. Это делается "обратным ходом" по шагам основного алгоритма.

Пример (продолжение): Выразим НОД(1071, 462) = 21 через 1071 и 462.

Начнем со второго шага, где мы получили остаток 21:

$21 = 462 - 3 \cdot 147$

Теперь из первого шага выразим предыдущий остаток, 147:

$147 = 1071 - 2 \cdot 462$

Подставим это выражение для 147 в предыдущее равенство:

$21 = 462 - 3 \cdot (1071 - 2 \cdot 462)$

$21 = 462 - 3 \cdot 1071 + 6 \cdot 462$

$21 = (1+6) \cdot 462 - 3 \cdot 1071$

$21 = 7 \cdot 462 - 3 \cdot 1071$

Таким образом, мы нашли представление НОД в виде $1071x + 462y = 21$, где $x = -3$ и $y = 7$.

Ответ: Алгоритм Евклида — это последовательное деление с остатком для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Расширенная версия алгоритма позволяет найти коэффициенты $x$ и $y$ в линейном представлении НОД: $ax + by = \text{НОД}(a, b)$.

Линейные диофантовы уравнения

Линейное диофантово уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $ax + by = c$, где $a, b, c$ — заданные целые числа, а решения $(x, y)$ требуется найти в целых числах.

Теорема о существовании решений:

Уравнение $ax + by = c$ имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда $c$ делится нацело на $d = \text{НОД}(a, b)$.

Алгоритм решения:

1. Найти $d = \text{НОД}(a, b)$ с помощью алгоритма Евклида.
2. Проверить, делится ли $c$ на $d$. Если нет, уравнение не имеет целочисленных решений.
3. Если $c$ делится на $d$, то разделим обе части уравнения на $d$:
   $(a/d)x + (b/d)y = (c/d)$.
   Получим уравнение $a'x + b'y = c'$, где НОД($a', b'$) = 1.
4. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти частное решение $(x', y')$ для уравнения $a'x + b'y = 1$.
5. Найти частное решение $(x_0, y_0)$ для уравнения $a'x + b'y = c'$, умножив $(x', y')$ на $c'$: $x_0 = x' \cdot c'$, $y_0 = y' \cdot c'$.
6. Записать общее решение. Все целочисленные решения уравнения задаются формулами:
   $x = x_0 + b't = x_0 + (b/d)t$
   $y = y_0 - a't = y_0 - (a/d)t$
   где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Пример: Решить в целых числах уравнение $1071x + 462y = 105$.

1. Мы уже знаем, что $d = \text{НОД}(1071, 462) = 21$.
2. Проверяем делимость: $c = 105$. Так как $105$ делится на $21$ ($105 = 5 \cdot 21$), решения существуют.
3. Делим уравнение на 21:
   $(1071/21)x + (462/21)y = 105/21$
   $51x + 22y = 5$
   Здесь $a'=51, b'=22, c'=5$.
4. Теперь ищем частное решение для $51x + 22y = 1$. Применим расширенный алгоритм Евклида для НОД(51, 22):
   $51 = 2 \cdot 22 + 7$
   $22 = 3 \cdot 7 + 1$
   Выражаем 1 в обратном порядке:
   $1 = 22 - 3 \cdot 7$
   $1 = 22 - 3 \cdot (51 - 2 \cdot 22) = 22 - 3 \cdot 51 + 6 \cdot 22$
   $1 = (-3) \cdot 51 + 7 \cdot 22$
   Частное решение для $51x + 22y = 1$ есть $(x', y') = (-3, 7)$.
5. Находим частное решение для $51x + 22y = 5$, умножая на $c'=5$:
   $x_0 = -3 \cdot 5 = -15$
   $y_0 = 7 \cdot 5 = 35$
6. Записываем общее решение, используя $a'=51$ и $b'=22$:
   $x = -15 + 22t$
   $y = 35 - 51t$
   где $t \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Линейное диофантово уравнение $ax+by=c$ разрешимо в целых числах, если $c$ делится на НОД($a,b$). Общее решение находится с помощью расширенного алгоритма Евклида и имеет вид $x = x_0 + (b/d)t$, $y = y_0 - (a/d)t$, где $(x_0, y_0)$ — частное решение, $d=\text{НОД}(a,b)$, а $t$ — любое целое число.