Номер 41.23, страница 327 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.23, страница 327.

Условие.

41.23. Решите систему уравнений

$\begin{cases} |x-2| + y^2 = 2-x, \\ y = x^2 + 2x - 15. \end{cases}$

Решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} |x - 2| + y^2 = 2 - x, \\ y = x^2 + 2x - 15. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение системы: $|x - 2| + y^2 = 2 - x$.

Перенесем $y^2$ в правую часть:

$|x - 2| = 2 - x - y^2$.

Левая часть этого уравнения, $|x - 2|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|x - 2| \ge 0$. Следовательно, и правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$2 - x - y^2 \ge 0$.

Так как $y^2$ также является неотрицательной величиной ($y^2 \ge 0$), то $-y^2 \le 0$. Из этого следует, что $2 - x \ge y^2 \ge 0$. Таким образом, мы получаем важное ограничение для переменной $x$:

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

Все решения системы должны удовлетворять этому условию. Рассмотрим два возможных случая, основанных на этом ограничении.

Случай 1: $x < 2$

Если $x < 2$, то выражение под знаком модуля $x - 2$ будет отрицательным. В этом случае модуль раскрывается с противоположным знаком:

$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$(2 - x) + y^2 = 2 - x$.

Вычитая из обеих частей уравнения выражение $(2 - x)$, получаем:

$y^2 = 0$,

откуда следует, что $y = 0$.

Теперь подставим найденное значение $y = 0$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$:

$0 = x^2 + 2x - 15$.

Мы получили квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $x$ условию нашего случая, то есть $x < 2$.

Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условию ($-5 < 2$), следовательно, пара $(-5, 0)$ является решением системы.

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию ($3 \not< 2$), следовательно, это посторонний корень и он не является решением.

Случай 2: $x = 2$

Рассмотрим граничное значение условия $x \le 2$. Подставим $x = 2$ в первое уравнение системы:

$|2 - 2| + y^2 = 2 - 2$

$0 + y^2 = 0$,

откуда $y = 0$.

Мы получили возможную точку решения $(2, 0)$. Для проверки подставим эти значения во второе уравнение системы:

$y = x^2 + 2x - 15$

$0 = 2^2 + 2 \cdot 2 - 15$

$0 = 4 + 4 - 15$

$0 = 8 - 15$

$0 = -7$.

Получено неверное равенство, значит, пара $(2, 0)$ не является решением системы.

Объединяя результаты анализа двух случаев, мы приходим к выводу, что система имеет единственное решение.

Ответ: $(-5, 0)$.