Номер 41.17, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.17, страница 326.

Условие.

41.17. В ящике лежат 10 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что из пяти выбранных наугад шаров будет не более двух белых?

Решение.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

В ящике находится $10 + 7 = 17$ шаров. Мы выбираем 5 шаров из 17.

1. Найдём общее число исходов (n).
Общее число способов выбрать 5 шаров из 17 равно числу сочетаний из 17 по 5:

$n = C_{17}^5 = \frac{17!}{5!(17-5)!} = \frac{17!}{5!12!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим множители: $5 \cdot 3 = 15$, $4 \cdot 2 \cdot 1 = 8$, $16 \div 8 = 2$.

$n = 17 \cdot 2 \cdot 14 \cdot 13 = 6188$.

Итак, общее число исходов $n = 6188$.

2. Найдём число благоприятных исходов (m).
Событие A — «из пяти выбранных шаров будет не более двух белых». Это означает, что количество белых шаров может быть 0, 1 или 2. Рассмотрим каждый из этих несовместных случаев.

Случай 1: 0 белых шаров и 5 чёрных шаров.
Число способов выбрать 0 белых шаров из 10 равно $C_{10}^0$.
Число способов выбрать 5 чёрных шаров из 7 равно $C_7^5$.
Количество исходов для этого случая:
$m_1 = C_{10}^0 \cdot C_7^5 = 1 \cdot \frac{7!}{5!(7-5)!} = 1 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

Случай 2: 1 белый шар и 4 чёрных шара.
Число способов выбрать 1 белый шар из 10 равно $C_{10}^1$.
Число способов выбрать 4 чёрных шара из 7 равно $C_7^4$.
Количество исходов для этого случая:
$m_2 = C_{10}^1 \cdot C_7^4 = 10 \cdot \frac{7!}{4!(7-4)!} = 10 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 35 = 350$.

Случай 3: 2 белых шара и 3 чёрных шара.
Число способов выбрать 2 белых шара из 10 равно $C_{10}^2$.
Число способов выбрать 3 чёрных шара из 7 равно $C_7^3$.
Количество исходов для этого случая:
$m_3 = C_{10}^2 \cdot C_7^3 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 45 \cdot 35 = 1575$.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов по всем трём случаям:
$m = m_1 + m_2 + m_3 = 21 + 350 + 1575 = 1946$.

3. Найдём вероятность.
Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1946}{6188}$

Сократим полученную дробь. Оба числа чётные, разделим их на 2:

$P(A) = \frac{1946 \div 2}{6188 \div 2} = \frac{973}{3094}$

Проверим, можно ли сократить дробь дальше. Заметим, что $973 = 7 \cdot 139$. Проверим, делится ли знаменатель на 7: $3094 \div 7 = 442$. Значит, дробь можно сократить на 7:

$P(A) = \frac{973 \div 7}{3094 \div 7} = \frac{139}{442}$

Число 139 является простым, а 442 на 139 не делится. Следовательно, это окончательный вид дроби.

Ответ: $\frac{139}{442}$.