Номер 41.20, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.20, страница 326.

Условие.

41.20. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 5 пассажиров. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность события:

1) все пассажиры выйдут на девятом этаже;

2) все пассажиры выйдут на одном этаже;

3) все пассажиры выйдут на разных этажах;

4) все пассажиры выйдут до пятого этажа.

Решение.

В этой задаче мы имеем дело с классическим определением вероятности. В лифт вошли 5 пассажиров. Каждый из них может выйти на любом из 8 этажей (со 2-го по 9-й). Будем считать, что выборы этажей пассажирами являются независимыми и равновероятными событиями.

Общее число всех возможных исходов $N$ — это количество способов, которыми 5 пассажиров могут выйти на 8 этажах. Для каждого из 5 пассажиров есть 8 вариантов выбора этажа. Таким образом, общее число исходов равно числу размещений с повторениями:

$N = 8^5 = 32768$.

1) все пассажиры выйдут на девятом этаже;
Событие A заключается в том, что все 5 пассажиров вышли на девятом этаже. Этому событию благоприятствует только один исход (первый вышел на 9-м, И второй вышел на 9-м, ..., И пятый вышел на 9-м).
Число благоприятных исходов $m_A = 1$.
Вероятность этого события вычисляется по формуле: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{1}{8^5} = \frac{1}{32768}$.
Ответ: $\frac{1}{32768}$.

2) все пассажиры выйдут на одном этаже;
Событие B заключается в том, что все пассажиры вышли на одном и том же этаже. Этот этаж может быть любым из 8 возможных (со 2-го по 9-й). Таким образом, есть 8 исходов, благоприятствующих этому событию: все вышли на 2-м, или все вышли на 3-м, ..., или все вышли на 9-м.
Число благоприятных исходов $m_B = 8$.
Вероятность этого события: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{8}{8^5} = \frac{1}{8^4} = \frac{1}{4096}$.
Ответ: $\frac{1}{4096}$.

3) все пассажиры выйдут на разных этажах;
Событие C заключается в том, что все 5 пассажиров вышли на разных этажах. Число благоприятных исходов $m_C$ равно числу размещений без повторений из 8 элементов (этажей) по 5 (пассажирам).
Первый пассажир может выбрать любой из 8 этажей.
Второй — любой из оставшихся 7.
Третий — любой из оставшихся 6.
Четвертый — любой из оставшихся 5.
Пятый — любой из оставшихся 4.
Число благоприятных исходов: $m_C = A_8^5 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$.
Вероятность этого события: $P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{6720}{32768}$.
Сократим дробь: $P(C) = \frac{6720 \div 64}{32768 \div 64} = \frac{105}{512}$.
Ответ: $\frac{105}{512}$.

4) все пассажиры выйдут до пятого этажа.
Событие D заключается в том, что все пассажиры вышли на этажах со 2-го по 5-й включительно. То есть, каждый пассажир может выйти на одном из 4 этажей: {2, 3, 4, 5}.
Для каждого из 5 пассажиров есть 4 варианта выбора этажа. Число благоприятных исходов $m_D$ равно:
$m_D = 4^5 = 1024$.
Вероятность этого события: $P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{4^5}{8^5} = \left(\frac{4}{8}\right)^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.