Номер 41.21, страница 327 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.21, страница 327.

Условие.

41.21. В колоде карт 4 масти по 9 карт каждой. Какова вероятность того, что при сдаче 36 карт поровну четырём игрокам каждый игрок получит все карты одной масти?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов: $P = \frac{M}{N}$.

1. Найдем общее число всех возможных исходов (N).

В колоде 36 различных карт. Эти карты раздаются четырем игрокам поровну, то есть каждый игрок получает по $36 / 4 = 9$ карт. Нам нужно найти общее число способов, которыми можно раздать 36 карт четырем игрокам. Это можно рассматривать как задачу о разбиении множества из 36 элементов на 4 упорядоченные группы по 9 элементов в каждой.

Первый игрок может получить 9 карт из 36. Число способов для этого равно числу сочетаний $C_{36}^9$.
Второй игрок может получить 9 карт из оставшихся 27 карт. Число способов: $C_{27}^9$.
Третий игрок может получить 9 карт из оставшихся 18 карт. Число способов: $C_{18}^9$.
Четвертый игрок получает оставшиеся 9 карт, для этого есть $C_9^9 = 1$ способ.

Общее число исходов $N$ равно произведению этих сочетаний: $N = C_{36}^9 \cdot C_{27}^9 \cdot C_{18}^9 \cdot C_9^9 = \frac{36!}{9!(36-9)!} \cdot \frac{27!}{9!(27-9)!} \cdot \frac{18!}{9!(18-9)!} \cdot \frac{9!}{9!(9-9)!}$
После сокращения промежуточных факториалов ($27!$ и $18!$) получаем: $N = \frac{36!}{9! \cdot 27!} \cdot \frac{27!}{9! \cdot 18!} \cdot \frac{18!}{9! \cdot 9!} \cdot 1 = \frac{36!}{(9!)^4}$

2. Найдем число благоприятных исходов (M).

Благоприятный исход — это ситуация, когда каждый игрок получает все 9 карт одной масти. Поскольку в колоде 4 масти по 9 карт, это означает, что каждому из четырех игроков достается одна полная масть.

Задача сводится к тому, чтобы посчитать, сколькими способами можно распределить 4 масти между 4 игроками. Это классическая задача на перестановки.
Первому игроку можно дать любую из 4 мастей (4 варианта).
Второму игроку — любую из оставшихся 3 мастей (3 варианта).
Третьему игроку — одну из 2 оставшихся мастей (2 варианта).
Четвертый игрок получает последнюю оставшуюся масть (1 вариант).

Число таких распределений равно числу перестановок из 4 элементов: $M = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

3. Вычислим искомую вероятность.

Теперь мы можем найти вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов: $P = \frac{M}{N} = \frac{4!}{\frac{36!}{(9!)^4}} = \frac{24 \cdot (9!)^4}{36!}$

Ответ: $\frac{24 \cdot (9!)^4}{36!}$