Номер 41.15, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.15, страница 326.

Условие.

41.15. В очередь случайным образом становятся четыре человека: A, B, C, D. Считая все варианты их размещения равновозможными, определите вероятность таких событий:

1) A будет первым в очереди;

2) В не будет последним в очереди.

Решение.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности события, которое вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – это общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих данному событию.

В очередь случайным образом становятся четыре человека (A, B, C, D). Общее число возможных вариантов их расстановки равно числу перестановок из 4 элементов, которое вычисляется как факториал числа 4.

Общее число исходов: $n = P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

1) А будет первым в очереди

Найдем количество благоприятных исходов ($m_1$), при которых человек А стоит на первом месте. Если позиция А зафиксирована, то оставшиеся три человека (B, C, D) могут быть расставлены на оставшихся трех местах. Число способов их расстановки равно числу перестановок из 3 элементов:

$m_1 = P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Таким образом, существует 6 исходов, при которых А будет первым. Вероятность этого события равна:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

2) В не будет последним в очереди

Для нахождения вероятности этого события удобно сначала найти вероятность противоположного события: "В будет последним в очереди".

Найдем количество благоприятных исходов ($m'$) для противоположного события. Если человек В стоит на последнем (четвертом) месте, то оставшиеся три человека (A, C, D) могут быть расставлены на первых трех местах. Число способов их расстановки равно:

$m' = P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Вероятность того, что В будет последним в очереди ($P'$), равна:

$P' = \frac{m'}{n} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

События "В не будет последним" и "В будет последним" являются противоположными, их вероятности в сумме дают 1. Следовательно, искомая вероятность ($P_2$) равна:

$P_2 = 1 - P' = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$