Номер 41.9, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.9, страница 325.

Условие.

41.9. Десять карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 10. Наугад выбирают две из них. Какова вероятность того, что произведение номеров выбранных карточек будет нечётным числом?

Решение.

В наборе 10 карточек, пронумерованных натуральными числами от 1 до 10. Среди этих чисел 5 являются нечётными (1, 3, 5, 7, 9) и 5 — чётными (2, 4, 6, 8, 10).

Произведение двух чисел является нечётным тогда и только тогда, когда оба множителя являются нечётными числами. Таким образом, для того чтобы произведение номеров на выбранных карточках было нечётным, необходимо выбрать две карточки, номера которых являются нечётными числами.

Общее число способов выбрать 2 карточки из 10 определяется числом сочетаний из 10 элементов по 2. Это общее число элементарных исходов $N$.
$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Число благоприятных исходов $M$ — это число способов выбрать 2 карточки с нечётными номерами из 5 имеющихся нечётных карточек. Это число сочетаний из 5 элементов по 2.
$M = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Вероятность $P$ того, что произведение номеров выбранных карточек будет нечётным, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{M}{N} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$