Номер 41.3, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.3, страница 325.

Условие.

41.3. Наугад выбирают четыре буквы из слова «ГЕОМЕТРИЯ». Какова вероятность того, что выбранные буквы в последовательности выбора образуют слово «МЕТР»?

Решение.

41.3.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Слово «ГЕОМЕТРИЯ» состоит из 9 букв. Важно отметить, что буква «Е» встречается дважды, а все остальные 7 букв — по одному разу.

1. Найдем общее число возможных исходов ($N$).

Эксперимент заключается в выборе четырех букв из девяти в определенной последовательности. Это является размещением без повторений. Общее число способов выбрать 4 буквы из 9 с учетом порядка их следования равно числу размещений из 9 по 4:

$N = A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$

Таким образом, существует 3024 различные последовательности из четырех букв, которые можно выбрать из слова «ГЕОМЕТРИЯ».

2. Найдем число благоприятствующих исходов ($m$).

Благоприятствующий исход — это получение последовательности букв, образующей слово «МЕТР».

- Для выбора первой буквы «М» есть 1 вариант (в слове «ГЕОМЕТРИЯ» одна буква «М»).

- Для выбора второй буквы «Е» есть 2 варианта (в слове «ГЕОМЕТРИЯ» две буквы «Е»).

- Для выбора третьей буквы «Т» есть 1 вариант (в слове одна буква «Т»).

- Для выбора четвертой буквы «Р» есть 1 вариант (в слове одна буква «Р»).

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число способов получить слово «МЕТР» равно произведению числа способов выбора каждой буквы:

$m = 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 2$

Следовательно, существует 2 благоприятствующих исхода.

3. Найдем искомую вероятность ($P$).

Вероятность того, что выбранные буквы образуют слово «МЕТР», равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{2}{3024} = \frac{1}{1512}$

Ответ: $\frac{1}{1512}$