Номер 40.37, страница 319 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 40. Классическое определение вероятности - номер 40.37, страница 319.

Условие.

40.37. В очередь случайным образом становятся четыре человека: A, B, C, D. Считая все варианты их размещения равновозможными, определите вероятность того, что A будет стоять впереди B.

Решение.

Для решения этой задачи по теории вероятностей мы воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов (N).

В очередь становятся четыре человека: A, B, C, D. Общее число способов их расстановки равно числу перестановок из 4-х элементов. Оно вычисляется по формуле $P_n = n!$.
$N = P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Таким образом, существует 24 возможных варианта расстановки четырех человек в очереди.

2. Найдем число благоприятных исходов (M).

Нам нужно найти количество таких расстановок, в которых человек A стоит впереди человека B. Рассмотрим два подхода к вычислению этого числа.

Подход А (метод рассуждения от симметрии):
Во всех 24 возможных расстановках рассмотрим взаимное расположение только людей А и В. Так как все перестановки равновозможны, то нет никаких оснований полагать, что А будет оказываться впереди В чаще, чем В впереди А. Эти два события ('А впереди В' и 'В впереди А') являются симметричными и, следовательно, равновероятными. Вместе они исчерпывают все возможные варианты взаимного расположения А и В.
Это означает, что ровно в половине всех перестановок А будет стоять впереди В.
$M = \frac{N}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Подход Б (комбинаторный метод):
Давайте посчитаем количество таких перестановок напрямую.
1. Сначала выберем 2 места в очереди из 4-х для людей А и В. Число способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.
2. Для каждой выбранной пары мест, чтобы А был впереди В, существует только один способ их расстановки (А ставится на первое из двух мест, В — на второе).
3. Оставшихся двух человек (C и D) нужно расставить на оставшиеся 2 места. Число способов это сделать равно $P_2 = 2! = 2$.
4. По правилу произведения, общее число благоприятных исходов равно: $M = C_4^2 \cdot 1 \cdot P_2 = 6 \cdot 1 \cdot 2 = 12$.

Оба подхода дают одинаковый результат: $M = 12$.

3. Вычислим вероятность.

Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, мы можем найти искомую вероятность:
$P = \frac{M}{N} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Отметим, что для решения этой задачи можно было сразу использовать соображения симметрии, не вычисляя $N$ и $M$. Поскольку для любой пары людей (в данном случае А и В) вероятность того, что один окажется впереди другого, равна вероятности обратного события, и других вариантов их взаимного расположения нет, то искомая вероятность всегда будет равна $1/2$.

Ответ: $0.5$