Номер 40.31, страница 319 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 40. Классическое определение вероятности - номер 40.31, страница 319.

Условие.

40.31. Какова вероятность того, что при двух бросках игрального кубика:

1) в первый раз выпадет число, которое меньше 5, а во второй — больше 4;

2) шестёрка выпадет только во второй раз;

3) в первый раз выпадет больше очков, чем во второй?

Решение.

При двух бросках стандартного шестигранного игрального кубика общее число равновозможных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго.

1) в первый раз выпадет число, которое меньше 5, а во второй — больше 4;

Пусть событие A — "при первом броске выпало число меньше 5". Благоприятными для этого события являются исходы {1, 2, 3, 4}. Число таких исходов равно 4.

Пусть событие B — "при втором броске выпало число больше 4". Благоприятными для этого события являются исходы {5, 6}. Число таких исходов равно 2.

Поскольку броски являются независимыми событиями, число благоприятных исходов для одновременного выполнения этих условий равно произведению числа благоприятных исходов для каждого из событий: $m = 4 \times 2 = 8$.

Вероятность этого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{m}{N} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

2) шестёрка выпадет только во второй раз;

Это событие означает, что при первом броске шестёрка не выпала, а при втором — выпала.

Число исходов, при которых в первом броске не выпадает шестёрка, равно 5 (могут выпасть числа 1, 2, 3, 4, 5).

Число исходов, при которых во втором броске выпадает шестёрка, равно 1 (выпадает число 6).

Общее число благоприятных исходов для этого сложного события равно произведению числа благоприятных исходов для каждого броска: $m = 5 \times 1 = 5$.

Вероятность этого события равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$.

3) в первый раз выпадет больше очков, чем во второй?

Пусть $x$ — число очков при первом броске, а $y$ — при втором. Нам нужно найти вероятность события $x > y$.

Все 36 возможных исходов можно разделить на три непересекающиеся группы:

1. Число очков в первом броске больше, чем во втором ($x > y$).
2. Число очков во втором броске больше, чем в первом ($x < y$).
3. Число очков в обоих бросках одинаково ($x = y$).

Сначала посчитаем количество исходов, когда число очков одинаково ($x = y$). Это пары: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Всего таких исходов 6.

Тогда количество исходов, когда число очков не совпадает ($x \neq y$), равно $36 - 6 = 30$.

Поскольку кубик симметричен, события $x > y$ и $x < y$ являются равновероятными. Это означает, что количество исходов, благоприятных для $x > y$, равно количеству исходов, благоприятных для $x < y$. Следовательно, количество исходов для каждого из этих событий равно половине от оставшихся 30 исходов:$m = \frac{30}{2} = 15$.

Вероятность того, что в первый раз выпадет больше очков, чем во второй, равна:$P = \frac{m}{N} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.