Номер 40.24, страница 318 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 40. Классическое определение вероятности - номер 40.24, страница 318.

Условие.

40.24. Среди двузначных чисел наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что:

1) его цифра в разряде десятков больше, чем цифра в разряде единиц;

2) его цифры в разрядах десятков и единиц одинаковы;

3) это число делится нацело на 9?

Решение.

Для решения задачи сначала определим общее количество всех возможных исходов. Нам нужно найти общее количество двузначных чисел. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99. Чтобы найти их количество, вычтем из последнего числа (99) число, предшествующее первому (9), и получим: $n = 99 - 9 = 90$. Итак, существует 90 двузначных чисел. Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — количество благоприятных исходов, а $n$ — общее количество всех равновозможных исходов.

1) его цифра в разряде десятков больше, чем цифра в разряде единиц;
Пусть двузначное число представлено как $ab$, где $a$ — цифра в разряде десятков, а $b$ — цифра в разряде единиц. По условию, $a > b$. Цифра $a$ может принимать значения от 1 до 9, а цифра $b$ — от 0 до 9.
Найдем количество благоприятных исходов ($m_1$), перебрав возможные значения для цифры десятков $a$:
- Если $a = 1$, то $b$ может быть только 0 (1 число: 10).
- Если $a = 2$, то $b$ может быть 0 или 1 (2 числа: 20, 21).
- Если $a = 3$, то $b$ может быть 0, 1 или 2 (3 числа: 30, 31, 32).
- Если $a = 4$, то $b$ может быть 0, 1, 2 или 3 (4 числа).
- Если $a = 5$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3 или 4 (5 чисел).
- Если $a = 6$, то $b$ может быть от 0 до 5 (6 чисел).
- Если $a = 7$, то $b$ может быть от 0 до 6 (7 чисел).
- Если $a = 8$, то $b$ может быть от 0 до 7 (8 чисел).
- Если $a = 9$, то $b$ может быть от 0 до 8 (9 чисел).
Суммируем количество благоприятных исходов: $m_1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.
Теперь найдем вероятность: $P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) его цифры в разрядах десятков и единиц одинаковы;
Найдем количество чисел, у которых цифра десятков равна цифре единиц. Так как цифра в разряде десятков не может быть нулем, это следующие числа: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
Всего таких чисел 9. Таким образом, количество благоприятных исходов $m_2 = 9$.
Найдем вероятность: $P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

3) это число делится нацело на 9?
Найдем количество двузначных чисел, кратных 9. Первое такое число — это 18 ($9 \cdot 2$), а последнее — 99 ($9 \cdot 11$).
Перечислим все эти числа: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.
Всего таких чисел 10. Таким образом, количество благоприятных исходов $m_3 = 10$.
Найдем вероятность: $P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.