Номер 40.17, страница 317 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 40. Классическое определение вероятности - номер 40.17, страница 317.

Условие.

40.17. В коробке было 23 карточки, пронумерованные от 1 до 23. Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней записано число:

1) 11;

2) кратное 5;

3) однозначное;

4) составное;

5) в записи которого есть цифра 7;

6) сумма цифр которого делится нацело на 3;

7) которое при делении на 11 даёт в остатке 2;

8) в записи которого отсутствует цифра 5?

Решение.

По условию задачи, в коробке 23 карточки, пронумерованные от 1 до 23. Следовательно, общее число равновероятных исходов при извлечении одной карточки равно $N=23$. Вероятность любого события $A$ находится по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1) 11;

Событие состоит в том, что на извлеченной карточке записано число 11. Среди всех карточек только одна имеет такой номер. Таким образом, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{1}{23}$.

Ответ: $\frac{1}{23}$.

2) кратное 5;

Событие состоит в том, что на карточке записано число, кратное 5. В диапазоне от 1 до 23 такими числами являются: 5, 10, 15, 20. Всего 4 таких числа, следовательно, число благоприятных исходов $m=4$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{4}{23}$.

Ответ: $\frac{4}{23}$.

3) однозначное;

Событие состоит в том, что на карточке записано однозначное число. В диапазоне от 1 до 23 такими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего 9 таких чисел, следовательно, число благоприятных исходов $m=9$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{9}{23}$.

Ответ: $\frac{9}{23}$.

4) составное;

Событие состоит в том, что на карточке записано составное число. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Сначала найдем количество простых чисел в диапазоне от 1 до 23: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 — всего 9 простых чисел. Число 1 не является ни простым, ни составным. Тогда количество составных чисел равно: $m = 23 - 9 \text{ (простых)} - 1 \text{ (единица)} = 13$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{13}{23}$.

Ответ: $\frac{13}{23}$.

5) в записи которого есть цифра 7;

Событие состоит в том, что в записи числа на карточке есть цифра 7. В диапазоне от 1 до 23 такими числами являются: 7 и 17. Всего 2 таких числа, следовательно, число благоприятных исходов $m=2$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{2}{23}$.

Ответ: $\frac{2}{23}$.

6) сумма цифр которого делится нацело на 3;

Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Найдем все числа в диапазоне от 1 до 23, которые кратны 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Всего 7 таких чисел, следовательно, число благоприятных исходов $m=7$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{7}{23}$.

Ответ: $\frac{7}{23}$.

7) которое при делении на 11 даёт в остатке 2;

Искомые числа можно представить в виде $11k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число. Найдем все такие числа в диапазоне от 1 до 23. При $k=0$ получаем число $11 \cdot 0 + 2 = 2$. При $k=1$ получаем число $11 \cdot 1 + 2 = 13$. При $k=2$ получаем $11 \cdot 2 + 2 = 24$, что больше 23. Таким образом, подходят числа 2 и 13. Число благоприятных исходов $m=2$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{2}{23}$.

Ответ: $\frac{2}{23}$.

8) в записи которого отсутствует цифра 5?

Событие состоит в том, что в записи числа на карточке нет цифры 5. Проще найти количество чисел, в которых эта цифра есть, и вычесть их из общего количества. В диапазоне от 1 до 23 цифра 5 встречается в числах: 5 и 15. Всего 2 таких числа. Следовательно, количество чисел без цифры 5 равно: $m = 23 - 2 = 21$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{21}{23}$.

Ответ: $\frac{21}{23}$.