Номер 41.5, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.5, страница 325.

Условие.

41.5. В ящике лежат 10 шаров, из которых 4 белые. Какова вероятность того, что выбранные наугад 2 шара окажутся белыми?

Решение.

Для решения этой задачи используем классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов.

1. Сначала найдем общее число способов выбрать 2 шара из 10. Так как порядок выбора шаров не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов $N$ (количество способов выбрать 2 шара из 10):

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

Таким образом, существует 45 различных пар шаров, которые можно вытащить из ящика.

2. Теперь найдем число благоприятствующих исходов $M$. Благоприятствующий исход — это выбор 2 белых шаров. В ящике всего 4 белых шара. Найдем количество способов выбрать 2 белых шара из 4 имеющихся:

$M = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Следовательно, существует 6 способов вытащить 2 белых шара.

3. Теперь можем вычислить вероятность $P$ того, что оба выбранных шара окажутся белыми:

$P = \frac{M}{N} = \frac{6}{45}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$P = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$