Номер 41.8, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.8, страница 325.

Условие.

41.8. На экзамен по математике выносят 50 вопросов. Студент подготовил 30 вопросов. Билет состоит из 5 вопросов, выбранных случайным образом. Какова вероятность того, что ученик будет знать ответы на все вопросы билета?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ (в данном случае — студент знает ответы на все 5 вопросов билета) вычисляется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($n$).

Вероятность события $A$ равна: $P(A) = \frac{m}{n}$

1. Найдем общее число возможных исходов $n$.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 5 вопросов из 50 имеющихся. Так как порядок вопросов в билете не важен, используем формулу для числа сочетаний: $C_N^k = \frac{N!}{k!(N-k)!}$.

В нашем случае общее число вопросов $N=50$, а вопросов в билете $k=5$.

$n = C_{50}^5 = \frac{50!}{5!(50-5)!} = \frac{50!}{5!45!} = \frac{50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2118760$.

Таким образом, существует 2 118 760 различных вариантов билетов.

2. Найдем число благоприятствующих исходов $m$.

Благоприятствующий исход — это билет, в котором все 5 вопросов выбраны из тех 30, которые студент подготовил. Следовательно, нам нужно найти количество способов выбрать 5 вопросов из 30 подготовленных.

В этом случае число подготовленных вопросов $N=30$, а вопросов в билете $k=5$.

$m = C_{30}^5 = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5!25!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 142506$.

Итак, существует 142 506 вариантов билетов, состоящих только из выученных студентом вопросов.

3. Вычислим искомую вероятность.

Вероятность того, что студенту попадется билет, в котором он знает все вопросы, равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{30}^5}{C_{50}^5} = \frac{142506}{2118760}$.

Для удобства вычислений и сокращения, представим эту дробь через произведения:

$P(A) = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46}$

Теперь сократим дробь:

$P(A) = \frac{30}{50} \times \frac{29}{49} \times \frac{28}{48} \times \frac{27}{47} \times \frac{26}{46} = \frac{3}{5} \times \frac{29}{49} \times \frac{7}{12} \times \frac{27}{47} \times \frac{13}{23}$

Продолжим сокращение, разложив знаменатели на множители:

$P(A) = \frac{3 \times 29 \times 7 \times 27 \times 13}{5 \times (7 \times 7) \times (3 \times 4) \times 47 \times 23} = \frac{29 \times 27 \times 13}{5 \times 7 \times 4 \times 47 \times 23} = \frac{10179}{151340}$

Приблизительное значение вероятности: $P(A) \approx 0.06725$.

Ответ: $\frac{10179}{151340}$.