Номер 41.12, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.12, страница 326.

Условие.

41.12. В ящике лежат 10 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что из пяти выбранных наугад шаров 3 будут белыми?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех возможных элементарных исходов, а $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию.

Сначала определим общее число способов $n$ выбрать 5 шаров из всех имеющихся. Всего в ящике $10 + 7 = 17$ шаров. Так как порядок выбора не важен, используем формулу сочетаний:
$n = C_{17}^5 = \frac{17!}{5!(17-5)!} = \frac{17!}{5!12!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Сокращаем множители в числителе и знаменателе: $15 = 5 \cdot 3$ и $16 = 4 \cdot 2 \cdot 2$.
$n = 17 \cdot (2) \cdot 14 \cdot 13 = 6188$.
Таким образом, общее число способов выбрать 5 шаров из 17 составляет 6188.

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это когда из 5 выбранных шаров ровно 3 белых. Это означает, что остальные $5 - 3 = 2$ шара должны быть чёрными.
Число способов выбрать 3 белых шара из 10:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.
Число способов выбрать 2 чёрных шара из 7:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
По правилу умножения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно произведению этих двух величин:
$m = C_{10}^3 \cdot C_7^2 = 120 \cdot 21 = 2520$.

Наконец, вычислим искомую вероятность:
$P = \frac{m}{n} = \frac{2520}{6188}$.
Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 28:
$2520 = 28 \cdot 90$
$6188 = 28 \cdot 221$
$P = \frac{90}{221}$.

Ответ: $\frac{90}{221}$