Номер 41.11, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.11, страница 326.

Условие.

41.11. В партии из 100 деталей 7 бракованных. Из этой партии наугад выбирают 6 деталей. Какова вероятность того, что среди выбранных деталей 2 детали окажутся бракованными?

Решение.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов. В данном случае мы имеем дело с сочетаниями, так как порядок выбора деталей не имеет значения.

Общее число способов выбрать 6 деталей из 100 равно числу сочетаний из 100 по 6, обозначаемому как $C_{100}^6$. Это общее число всех возможных исходов.

$$ n = C_{100}^6 = \frac{100!}{6!(100-6)!} = \frac{100!}{6!94!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1 \ 192 \ 052 \ 400 $$

Далее найдем число благоприятствующих исходов. Благоприятствующий исход — это выбор 2 бракованных и 4 качественных деталей.

В партии всего 7 бракованных деталей. Число способов выбрать 2 бракованные детали из 7 равно $C_7^2$.

$$ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 $$

Количество качественных (не бракованных) деталей в партии составляет $100 - 7 = 93$. Число способов выбрать 4 качественные детали из 93 равно $C_{93}^4$.

$$ C_{93}^4 = \frac{93!}{4!(93-4)!} = \frac{93!}{4!89!} = \frac{93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \ 919 \ 735 $$

Общее число благоприятствующих исходов $m$ равно произведению числа способов выбрать 2 бракованные детали и числа способов выбрать 4 качественные детали:

$$ m = C_7^2 \cdot C_{93}^4 = 21 \cdot 2 \ 919 \ 735 = 61 \ 314 \ 435 $$

Теперь можно вычислить искомую вероятность $P$ как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$$ P = \frac{m}{n} = \frac{C_7^2 \cdot C_{93}^4}{C_{100}^6} = \frac{61 \ 314 \ 435}{1 \ 192 \ 052 \ 400} $$

Сократив дробь, получаем:

$$ P = \frac{83421}{1621840} \approx 0.051436 $$

Ответ: Вероятность того, что среди выбранных деталей 2 детали окажутся бракованными, равна $ \frac{C_7^2 \cdot C_{93}^4}{C_{100}^6} = \frac{83421}{1621840} \approx 0.0514 $.