Номер 5, страница 331 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 5, страница 331.

Условие.

5. Парадоксы теории множеств

Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Бурова И.И. Парадоксы теории множеств и диалектика. — М., 1976.

2) Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2001.

3) Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. — М.: МЦНМО, 2002.

Решение.

Парадоксы теории множеств — это противоречия, которые были обнаружены в конце XIX — начале XX века в наивной теории множеств Георга Кантора. Эта теория исходила из интуитивного предположения, что любое свойство или условие может определять множество, состоящее из всех объектов, удовлетворяющих этому свойству. Обнаружение парадоксов вызвало кризис в основаниях математики и привело к созданию аксиоматических теорий множеств, таких как теория Цермело — Френкеля (ZFC).

Рассмотрим наиболее известные парадоксы.

Парадокс Рассела (1901 г.)

Это самый известный парадокс, который наглядно демонстрирует проблему наивного подхода. Он был сформулирован Бертраном Расселом.

Суть парадокса:

1. Разделим все множества на два типа:

• «Обычные» множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Например, множество всех людей не является человеком. Большинство множеств, которые мы можем представить, являются «обычными».
• «Необычные» множества, которые содержат себя в качестве элемента. Примером может служить гипотетическое множество всех множеств.

2. Рассмотрим множество $R$, определенное как «множество всех обычных множеств». Формально это записывается так:

$R = \{x \mid x \notin x\}$

Это означает, что $R$ содержит все те и только те множества $x$, которые не содержат сами себя в качестве элемента.

3. Теперь зададим вопрос: является ли множество $R$ «обычным» или «необычным»? Иными словами, принадлежит ли $R$ самому себе ($R \in R$)?

• Предположим, что $R$ принадлежит самому себе ($R \in R$).
  Если $R \in R$, то оно должно удовлетворять определяющему свойству для элементов множества $R$. Это свойство — не содержать себя в качестве элемента ($x \notin x$). Следовательно, из $R \in R$ вытекает, что $R \notin R$. Это противоречие.
• Предположим, что $R$ не принадлежит самому себе ($R \notin R$).
  Если $R \notin R$, то оно является множеством, которое не содержит себя в качестве элемента. Но именно такие множества и должны входить в $R$ по его определению. Следовательно, из $R \notin R$ вытекает, что $R \in R$. Это снова противоречие.

Таким образом, оба предположения ($R \in R$ и $R \notin R$) приводят к противоречию. Это означает, что само определение множества $R$ некорректно в рамках наивной теории множеств, так как допущение о его существовании ведет к логическому коллапсу.

Ответ: Противоречие возникает из-за допущения, что любое свойство (в данном случае, свойство «не содержать себя в качестве элемента») может определять множество. В аксиоматической теории множеств (ZFC) существование такого множества $R$ запрещено, так как новые множества можно формировать только как подмножества уже существующих множеств (согласно аксиоме выделения).

Парадокс Кантора (1899 г.)

Этот парадокс, открытый самим Георгом Кантором, связан с понятием мощности (размера) множеств.

Суть парадокса:

1. Рассмотрим гипотетическое «множество всех множеств». Обозначим его $U$.

2. Согласно фундаментальной теореме Кантора, для любого множества $A$ мощность его булеана (множества всех его подмножеств, $\mathcal{P}(A)$) строго больше мощности самого множества $A$. Формально:

$|\mathcal{P}(A)| > |A|$

3. Применим эту теорему к нашему множеству всех множеств $U$. Получаем, что мощность множества всех подмножеств $U$ должна быть строго больше мощности $U$:

$|\mathcal{P}(U)| > |U|$

4. Однако, по определению, $U$ — это множество всех множеств. Каждое подмножество $U$ само по себе является множеством. Следовательно, каждый элемент из $\mathcal{P}(U)$ также должен быть элементом $U$. Это означает, что $\mathcal{P}(U)$ является подмножеством $U$.

5. Если $\mathcal{P}(U)$ является подмножеством $U$, то его мощность не может быть больше мощности $U$. Наоборот, должно выполняться неравенство:

$|\mathcal{P}(U)| \le |U|$

Мы получили два взаимоисключающих утверждения: $|\mathcal{P}(U)| > |U|$ и $|\mathcal{P}(U)| \le |U|$. Это противоречие.

Ответ: Противоречие доказывает, что предположение о существовании «множества всех множеств» неверно. В рамках аксиоматической теории множеств совокупность всех множеств не является множеством, а называется собственным классом.

Парадокс Бурали-Форти (1897 г.)

Это первый из опубликованных парадоксов теории множеств, и он связан с понятием ординальных чисел.

Суть парадокса:

1. Ординальные числа (ординалы) используются для описания порядка элементов в хорошо упорядоченных множествах. Совокупность всех ординалов сама является хорошо упорядоченной.

2. Рассмотрим гипотетическое «множество всех ординальных чисел». Обозначим его $\Omega$.

3. В теории ординалов есть два ключевых свойства:

• Любое множество ординалов хорошо упорядочено отношением «меньше».
• Порядковый тип любого хорошо упорядоченного множества ординалов сам является ординалом, который больше любого ординала из этого множества.

4. Поскольку $\Omega$ — это множество всех ординалов, оно хорошо упорядочено. Следовательно, мы можем определить его порядковый тип, который должен быть некоторым ординалом, скажем, $\alpha$.

5. Согласно второму свойству, этот ординал $\alpha$ должен быть строго больше любого ординала, содержащегося в множестве $\Omega$.

6. Но $\Omega$ по определению содержит все ординалы. Значит, ординал $\alpha$ также должен быть элементом $\Omega$.

7. Мы пришли к противоречию: ординал $\alpha$ является элементом множества $\Omega$ и в то же время он должен быть строго больше каждого элемента из $\Omega$, включая самого себя. То есть $\alpha > \alpha$, что невозможно.

Ответ: Противоречие показывает, что не существует «множества всех ординальных чисел». Как и в случае с парадоксом Кантора, в аксиоматике ZFC совокупность всех ординалов является собственным классом, а не множеством.

Решение и значение парадоксов

Парадоксы показали, что интуитивный подход к понятию множества несостоятелен. Решением стала аксиоматизация теории множеств. Наиболее распространенной системой аксиом сегодня является ZFC (теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). В этой системе понятие «множество» определяется не интуитивно, а через набор строгих правил (аксиом), которые говорят, как можно строить новые множества из уже существующих. Эти аксиомы составлены таким образом, чтобы не допустить образования «слишком больших» совокупностей, таких как «множество всех множеств» или «множество всех ординалов», которые и приводили к парадоксам. Такие совокупности в современной теории называются классами, и они не являются множествами, что и разрешает указанные противоречия.