Номер §9, страница 337 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §9, страница 337.

Условие.

K § 9 «Сложение и умножение числовых неравенств.

Оценивание значения выражения»

Каким образом наглядно проиллюстрировать теоремы о почленном сложении и умножении неравенств? Оценивание значения выражения?

Создайте соответствующие изображения в графическом редакторе.

Решение.

Каким образом наглядно проиллюстрировать теоремы о почленном сложении и умножении неравенств?

Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств можно наглядно проиллюстрировать с помощью геометрических интерпретаций: сложение — через длины отрезков, а умножение — через площади прямоугольников.

1. Почленное сложение неравенств

Теорема: Если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$.

Наглядная иллюстрация: Представим каждое число в виде длины отрезка на числовой оси. Неравенство $a < b$ означает, что отрезок длины $a$ короче отрезка длины $b$. Аналогично, отрезок $c$ короче отрезка $d$. Если мы "приставим" короткий отрезок $c$ к короткому отрезку $a$, их суммарная длина $a+c$ очевидно будет меньше, чем суммарная длина, полученная от "приставления" длинного отрезка $d$ к длинному отрезку $b$.

Пример: Пусть даны неравенства $2 < 5$ и $3 < 4$. Сложив их, получаем $2+3 < 5+4$, то есть $5 < 9$.

Изображение в графическом редакторе (SVG-иллюстрация):

Ответ: Почленное сложение неравенств можно наглядно проиллюстрировать, представив числа в виде отрезков. Сумма длин двух более коротких отрезков всегда будет меньше суммы длин двух более длинных отрезков.

2. Почленное умножение неравенств

Теорема: Если $a, b, c, d$ — положительные числа, причем $a < b$ и $c < d$, то $ac < bd$. (Важно, что все части неравенств положительны).

Наглядная иллюстрация: Умножение двух чисел можно представить как площадь прямоугольника с соответствующими сторонами. Тогда произведение $ac$ — это площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $c$, а произведение $bd$ — площадь прямоугольника со сторонами $b$ и $d$. Поскольку сторона $a$ короче стороны $b$, а сторона $c$ короче стороны $d$, то прямоугольник со сторонами $a$ и $c$ целиком поместится внутри прямоугольника со сторонами $b$ и $d$. Следовательно, его площадь будет меньше.

Пример: Пусть даны неравенства $2 < 5$ и $3 < 4$. Умножив их, получаем $2 \cdot 3 < 5 \cdot 4$, то есть $6 < 20$.

Изображение в графическом редакторе (SVG-иллюстрация):

Ответ: Почленное умножение неравенств с положительными членами можно наглядно проиллюстрировать через площади прямоугольников. Прямоугольник, обе стороны которого меньше, будет иметь и меньшую площадь.

Оценивание значения выражения

Оценивание значения выражения — это применение описанных выше теорем для нахождения границ, в которых находится значение этого выражения. Наглядно это можно проиллюстрировать на координатной плоскости.

Задача: Оценить значение выражения $S = x+y$ и $P = xy$, если известно, что $2 < x < 3$ и $5 < y < 7$.

Наглядная иллюстрация: Множество всех точек $(x, y)$, удовлетворяющих заданным условиям, образует на координатной плоскости открытый прямоугольник, ограниченный прямыми $x=2, x=3, y=5, y=7$.

1. Для оценки суммы $S = x+y$: Складываем левые и правые части неравенств: $2+5 < x+y < 3+7$, откуда $7 < S < 10$. На графике это соответствует поиску минимального и максимального значения $S$ для точек внутри прямоугольника. Линии уровня $x+y=S$ — это параллельные прямые с наклоном -1. Минимальное значение $S=7$ достигается в вершине (2, 5), а максимальное $S=10$ — в вершине (3, 7).
2. Для оценки произведения $P = xy$: Так как все числа положительны, перемножаем неравенства: $2 \cdot 5 < xy < 3 \cdot 7$, откуда $10 < P < 21$. Геометрически это соответствует поиску минимальной и максимальной площади прямоугольника с вершинами в (0,0) и $(x,y)$, где $(x,y)$ лежит в заданной области.

Изображение для оценки суммы $S=x+y$ (SVG-иллюстрация):

Ответ: Оценивание выражения можно наглядно проиллюстрировать на координатной плоскости. Область, заданная исходными неравенствами для переменных, представляет собой прямоугольник. Значение выражения оценивается путем нахождения его экстремальных (минимального и максимального) значений на границах этой области, чаще всего в вершинах.