Номер §13, страница 338 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §13, страница 338.

Условие.

К § 13 «Функция $y = x^2$ и её график»

13.8–13.11. Выберите какую-либо функцию из этих заданий и постройте график этой функции двумя способами. Первый способ: определите, из каких геометрических фигур состоит этот график, и изобразите эти фигуры на координатной плоскости с помощью графического редактора. Второй способ: составьте таблицу, содержащую набор значений аргумента и соответствующих им значений функции, и постройте график на основании этой таблицы с помощью соответствующих инструментов автоматического построения графиков; для этого способа выберите внешний вид графика, в котором заданные точки соединяются отрезками. Какой график более точно изображает заданную функцию? Как надо учесть особенности этой функции при выборе набора аргументов для таблицы?

Решение.

Для выполнения задания выберем кусочно-заданную функцию, содержащую элемент параболы $y = x^2$. Пусть функция задана следующей формулой:

$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ 4, & \text{если } |x| > 2 \end{cases}$

Это означает, что функция ведёт себя как парабола на отрезке от -2 до 2 и как постоянная функция (горизонтальная линия) за пределами этого отрезка.

Первый способ: определите, из каких геометрических фигур состоит этот график, и изобразите эти фигуры на координатной плоскости

График данной функции состоит из трёх частей:

1. На интервале $x < -2$, функция равна $y = 4$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(-2, 4)$ и идущий влево.
2. На отрезке $-2 \le x \le 2$, функция равна $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке (0, 0), заключённая между точками $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.
3. На интервале $x > 2$, функция снова равна $y = 4$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и идущий вправо.

Таким образом, график состоит из фрагмента параболы, к концам которого (в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$) присоединены два горизонтальных луча. Построение этих фигур в графическом редакторе даёт точное изображение функции.

Второй способ: составьте таблицу, содержащую набор значений аргумента и соответствующих им значений функции, и постройте график на основании этой таблицы

Составим таблицу значений, выбрав ключевые точки (границы интервалов) и несколько точек внутри и снаружи интервала $[-2, 2]$.

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y$	4	4	4	1	0	1	4	4	4

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их отрезками, мы получим ломаную линию. На участках $x \le -2$ и $x \ge 2$ отрезки лягут на прямую $y=4$, точно отображая эту часть графика. Однако на участке от -2 до 2 ломаная, соединяющая точки $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(2, 4)$, будет лишь приближенно повторять форму параболы, сглаженная кривизна будет заменена изломами.

Какой график более точно изображает заданную функцию?

Более точное изображение функции даёт первый способ. Он позволяет построить истинный график, состоящий из гладкой кривой (части параболы) и прямых лучей. Второй способ (построение по точкам с соединением отрезками) является аппроксимацией (приближением). Он точно отображает линейные участки функции, но искажает криволинейные, заменяя их ломаными линиями. Чем меньше точек мы возьмём на криволинейном участке, тем грубее будет приближение.

Ответ: График, построенный первым способом (из геометрических фигур), является более точным.

Как надо учесть особенности этой функции при выборе набора аргументов для таблицы?

При выборе набора аргументов для построения графика по точкам (второй способ) необходимо учитывать следующие особенности функции, чтобы добиться максимальной точности:

1. Граничные точки. Обязательно нужно включить в таблицу точки, в которых меняется формула функции. Для нашего примера это $x = -2$ и $x = 2$. Эти точки определяют, где одни геометрические фигуры переходят в другие.
2. Характерные точки. Важно включать точки, отражающие ключевые особенности графика, например, вершину параболы ($x=0$) или точки пересечения с осями.
3. Кривизна графика. На участках, где график является кривой линией (у нас это отрезок $[-2, 2]$), для более точного отображения формы следует брать больше точек. Особенно важно "сгущать" точки в местах, где кривизна максимальна. Для параболы $y = x^2$ это область вблизи её вершины. Например, можно было бы добавить значения $x = -1.5, -0.5, 0.5, 1.5$.
4. Линейные участки. На участках, где график является прямой линией (у нас $x < -2$ и $x > 2$), достаточно взять всего две точки для каждого участка, чтобы однозначно определить его положение.

Ответ: При выборе аргументов для таблицы нужно обязательно включать точки, где меняется вид функции ($x=-2, x=2$), и характерные точки (вершина параболы $x=0$). На криволинейных участках следует брать больше точек, особенно там, где график сильно изгибается, а на прямолинейных участках достаточно двух-трёх точек.