Номер §26, страница 340 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §26, страница 340.

Условие.

К § 26 «Делимость нацело и её свойства»

Можно ли утверждать, что одно число делится нацело на другое, выполнив деление с помощью калькулятора? Почему?

Какие из задач этого параграфа можно решить методом перебора?

Запишите алгоритмы для решения нескольких из этих задач.

Решение.

Можно ли утверждать, что одно число делится нацело на другое, выполнив деление с помощью калькулятора? Почему?

Нет, утверждать это с полной уверенностью, основываясь только на показаниях калькулятора, нельзя. Это связано с двумя основными причинами:

1. Ограниченная точность и округление. Калькуляторы имеют ограниченное количество разрядов на дисплее. Если результат деления — это число, очень близкое к целому, калькулятор может округлить его и показать целое число. Например, результат $4.999999999$ или $5.000000001$ на 8-разрядном калькуляторе будет отображен как $5$. Это может привести к неверному выводу о том, что деление произошло нацело.
2. Работа с очень большими числами. При операциях с числами, которые превышают разрядность процессора калькулятора, он переходит в режим работы с числами с плавающей запятой (экспоненциальная запись). Такие вычисления могут содержать небольшие погрешности, незаметные на экране, но достаточные, чтобы скрыть тот факт, что деление не было целочисленным. Например, при делении $10^{20}+1$ на $10^{10}$, истинный результат равен $10^{10} + 10^{-10}$. Большинство калькуляторов округлит его до $10^{10}$, создавая иллюзию делимости нацело.

Для математически строгого доказательства делимости необходимо использовать свойства чисел, признаки делимости или определение: число $a$ делится нацело на число $b$ ($b \ne 0$), если существует такое целое число $k$, что выполняется равенство $a = b \cdot k$.

Ответ: Нет, утверждать о делимости нацело на основании показаний калькулятора нельзя из-за ограниченной точности вычислений и возможных ошибок округления, особенно при работе с большими числами.

Какие из задач этого параграфа можно решить методом перебора?

Поскольку содержание параграфа неизвестно, перечислим типичные задачи на тему «Делимость», которые можно решить методом перебора (brute-force). Метод перебора эффективен, когда множество возможных решений конечно и не слишком велико.

• Поиск всех делителей числа. Можно перебрать все числа от 1 до самого числа и проверить, является ли каждое из них делителем.
• Проверка числа на простоту. Можно перебирать все возможные делители от 2 до корня из проверяемого числа. Если ни один не подошел, число простое.
• Нахождение наибольшего общего делителя (НОД). Можно перебирать все числа от меньшего из двух данных чисел вниз до 1 и выбрать первое, которое разделит оба исходных числа.
• Задачи на восстановление цифр. Задачи вида «найдите все цифры *, чтобы число $\overline{5*2}$ делилось на 3» решаются перебором всех возможных значений для * (от 0 до 9).

Ответ: Методом перебора можно решать задачи, где область поиска решения ограничена, например: поиск всех делителей числа, проверка на простоту, нахождение НОД, а также задачи на подбор неизвестных цифр в числе по заданным свойствам делимости.

Запишите алгоритмы для решения нескольких из этих задач.

Приведем два примера алгоритмов, основанных на методе перебора.

1. Алгоритм поиска всех натуральных делителей числа $N$

1. Получить на вход натуральное число $N$.
2. Создать пустой список для записи делителей.
3. Запустить цикл, в котором переменная $i$ будет принимать целые значения от 1 до $N$ включительно.
4. На каждом шаге цикла проверять условие: если $N$ делится на $i$ без остатка (т.е. $N \pmod i = 0$), то $i$ является делителем.
5. Если условие выполнено, добавить значение $i$ в список делителей.
6. После окончания цикла вывести полученный список. Это и будут все делители числа $N$.

(Более эффективная версия этого алгоритма предполагает перебор $i$ от 1 до $\sqrt{N}$. Если $i$ — делитель, то в список добавляются сразу два числа: $i$ и $N/i$).

2. Алгоритм для нахождения цифры $x$ в числе $\overline{A x B}$, чтобы оно было кратно числу $M$

Пример: Найти все возможные цифры $x$, чтобы число $\overline{4x5}$ делилось на 3.

1. Сформулировать задачу: найти цифру $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ такую, что число $N = 405 + 10x$ делится на 3.
2. Создать пустой список для записи подходящих цифр.
3. Запустить цикл, в котором переменная $x$ будет принимать целые значения от 0 до 9.
4. На каждом шаге цикла:
   a. Сформировать число $N$, подставив текущее значение $x$. (Например, для $x=0, N=405$; для $x=1, N=415$).
   b. Проверить условие: если $N$ делится на $M$ без остатка (в нашем примере $N \pmod 3 = 0$), то текущее значение $x$ является решением.
5. Если условие выполнено, добавить значение $x$ в список решений.
6. После окончания цикла вывести список найденных цифр.

Ответ: Выше приведены алгоритмы для поиска всех делителей числа $N$ и для подбора неизвестной цифры в числе на основе заданного свойства делимости. Оба алгоритма используют метод последовательного перебора всех возможных вариантов.