Номер §33, страница 342 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §33, страница 342.

Условие.

К § 33 «Целое рациональное уравнение»

Запишите алгоритм для поиска целых корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Решение.

Алгоритм для поиска целых корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами основан на следствии из теоремы о рациональных корнях многочлена. Оно гласит: если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.

Пусть дано уравнение вида $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где все коэффициенты $a_n, \dots, a_0$ — целые числа.

Алгоритм поиска целых корней

Шаг 1. Найти кандидатов в корни. Целые корни уравнения (если они существуют) следует искать среди делителей свободного члена $a_0$. Необходимо выписать все целые делители числа $a_0$ (положительные и отрицательные). Примечание: если свободный член $a_0 = 0$, то $x=0$ является корнем. В этом случае необходимо вынести за скобки максимально возможную степень $x$ и решать полученное уравнение меньшей степени.

Шаг 2. Проверить кандидатов. Нужно последовательно подставлять каждого из найденных делителей в исходное уравнение вместо $x$ и вычислять значение многочлена $P(x)$.

Шаг 3. Отобрать корни. Те делители, при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство ($P(x)=0$), являются целыми корнями данного уравнения. Примечание: для оптимизации, найдя один корень $x_1$, можно разделить многочлен $P(x)$ на двучлен $(x - x_1)$, чтобы получить многочлен меньшей степени и искать корни уже у него.

Пример

Найти целые корни уравнения $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решение.

Шаг 1. Свободный член уравнения $a_0 = 6$. Его целые делители (кандидаты в корни): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Шаги 2 и 3. Проверяем каждого кандидата подстановкой в многочлен $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:

$P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Следовательно, $x=1$ — корень.

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 = -1 - 2 + 5 + 6 = 8 \neq 0$.

$P(2) = 2^3 - 2(2)^2 - 5(2) + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 \neq 0$.

$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = 0$. Следовательно, $x=-2$ — корень.

$P(3) = 3^3 - 2(3)^2 - 5(3) + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 0$. Следовательно, $x=3$ — корень.

Поскольку уравнение кубическое, оно не может иметь более трех корней. Мы нашли все три: $1, -2, 3$.

Ответ:

Алгоритм для поиска целых корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами состоит из следующих шагов:

1. Найти все целые делители свободного члена уравнения. Эти числа являются единственными кандидатами в целые корни.

2. Проверить каждого кандидата путем подстановки в уравнение.

3. Выбрать те числа, которые обращают уравнение в верное равенство. Это и есть искомые целые корни.