Номер §39, страница 342 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §39, страница 342.

Условие.

К § 39 «Частота и вероятность случайного события»

Выполните задания 39.3, 39.9 с помощью табличного редактора. Можете ли вы автоматизировать получение ответов?

Решение.

Да, задания на вычисление частоты и вероятности случайного события можно эффективно выполнять с помощью табличного редактора (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc). Более того, использование формул и встроенных функций позволяет полностью автоматизировать получение ответов.

Табличный редактор даёт возможность моделировать случайные эксперименты с большим количеством испытаний и мгновенно обрабатывать их результаты. Ниже показано, как это можно сделать, на гипотетических примерах задач.

Задание 39.3

(Пример условия) Провести эксперимент, состоящий из 1000 бросаний стандартного игрального кубика. Определить относительную частоту выпадения числа 6.

Решение с помощью табличного редактора:

1. Моделирование бросков. В столбец A, начиная с ячейки A1, введем формулу для генерации случайного целого числа от 1 до 6. Для русскоязычной версии Excel это будет =СЛУЧМЕЖДУ(1; 6), для англоязычной — =RANDBETWEEN(1, 6). Скопируем ("растянем") эту формулу вниз до ячейки A1000, чтобы смоделировать 1000 бросков.
2. Подсчет общего числа испытаний. Общее число испытаний $N$ равно 1000. Мы можем также посчитать его в отдельной ячейке (например, C1) с помощью формулы =СЧЁТ(A1:A1000).
3. Подсчет числа благоприятных исходов. В ячейке C2 посчитаем, сколько раз в эксперименте выпало число 6. Для этого используем формулу =СЧЁТЕСЛИ(A1:A1000; 6) (или =COUNTIF(A1:A1000, 6)). Результатом будет число $m$ — количество "успехов".
4. Вычисление относительной частоты. Относительная частота события A (выпадение шестерки) вычисляется по формуле $W(A) = \frac{m}{N}$. В ячейке C3 введем формулу для деления значения из ячейки C2 на значение из ячейки C1: =C2/C1.

Полученное в ячейке C3 значение и будет искомой относительной частотой. При каждом пересчете листа (например, при нажатии клавиши F9) все случайные числа будут сгенерированы заново, и относительная частота будет автоматически пересчитана. Теоретическая вероятность этого события равна $P(A) = \frac{1}{6} \approx 0,167$. Результат эксперимента должен быть близок к этому числу.

Ответ: Относительная частота будет рассчитана в ячейке по формуле вида =СЧЁТЕСЛИ(A1:A1000; 6)/1000 и будет близка к теоретической вероятности $1/6$.

Задание 39.9

(Пример условия) Смоделировать 5000 бросаний двух игральных кубиков. Найти относительную частоту события "сумма выпавших очков равна 7".

Решение с помощью табличного редактора:

1. Моделирование бросков двух кубиков.
   • В столбец A (диапазон A1:A5000) поместим результаты броска первого кубика с помощью формулы =СЛУЧМЕЖДУ(1; 6).
   • В столбец B (диапазон B1:B5000) поместим результаты броска второго кубика, используя ту же формулу =СЛУЧМЕЖДУ(1; 6).
2. Вычисление суммы очков. В столбце C (диапазон C1:C5000) будем вычислять сумму очков для каждого из 5000 бросков. В ячейку C1 введем формулу =A1+B1 и скопируем ее вниз до ячейки C5000.
3. Подсчет общего числа испытаний. Общее число испытаний $N$ равно 5000.
4. Подсчет числа благоприятных исходов. В ячейке E1 посчитаем, сколько раз сумма очков была равна 7. Используем формулу: =СЧЁТЕСЛИ(C1:C5000; 7). Это будет число $m$.
5. Вычисление относительной частоты. В ячейке E2 введем формулу для расчета относительной частоты: =E1/5000.

Теоретическая вероятность выпадения суммы, равной 7, составляет $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$, так как существует 6 благоприятных комбинаций (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) из 36 возможных. Относительная частота, полученная в ходе эксперимента, будет близка к этому значению.

Ответ: Относительная частота будет вычислена по формуле =СЧЁТЕСЛИ(C1:C5000; 7)/5000 и будет стремиться к теоретической вероятности $1/6$.

Можете ли вы автоматизировать получение ответов?

Да, получение ответов в табличном редакторе полностью автоматизировано. Это достигается за счет следующих возможностей:

• Использование формул: Вместо ручных подсчетов мы один раз настраиваем формулы, которые мгновенно обрабатывают весь массив данных, даже если он состоит из тысяч испытаний.
• Динамическое обновление: Результаты (количество исходов, частота) связаны формулами с исходными данными. Если изменить количество испытаний (например, продлить столбцы до 10000 строк), все итоговые значения автоматически пересчитаются.
• Мгновенное повторное моделирование: Нажатие клавиши F9 (в большинстве программ) запускает пересчет всех формул, включая генерацию случайных чисел. Это позволяет мгновенно провести новую серию экспериментов и наблюдать, как меняется относительная частота, не перестраивая всю модель.
• Параметризация: Ключевые параметры задачи (количество испытаний, искомый результат, количество граней у кубика) можно вынести в отдельные ячейки. Тогда, изменяя только значения в этих ячейках, можно решать целый класс подобных задач с помощью одной и той же настроенной таблицы.

Таким образом, создав один раз модель для эксперимента в табличном редакторе, можно многократно и почти мгновенно получать ответы для различных условий.

Ответ: Да, получение ответов полностью автоматизируется с помощью формул табличного редактора для генерации случайных чисел, подсчета значений по заданному условию и вычисления итоговой относительной частоты.