Вопросы?, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - страница 7.

Условие.

1. Приведите примеры множеств.

2. Как обозначают множество и его элементы?

3. Как обозначают множества натуральных, целых и рациональных чисел?

4. Как записать, что элемент $a$ принадлежит множеству $A$? Не принадлежит множеству $A$?

5. Какие существуют способы задания множеств?

6. Какое множество называют подмножеством данного множества?

7. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами?

8. Какое множество является подмножеством любого множества?

9. Какое множество называют собственным подмножеством данного множества?

Решение.

1. Приведите примеры множеств.

Множество — это совокупность каких-либо объектов, объединенных по общему признаку. Эти объекты называются элементами множества. Примеры множеств могут быть самыми разными:

• Множество гласных букв русского алфавита: $\{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я\}$.
• Множество натуральных чисел, меньших 6: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.
• Множество планет Солнечной системы: $\{Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун\}$.
• Множество всех четных целых чисел: $\{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$.

Ответ: Примерами множеств являются: множество учеников в классе, множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$, множество цветов радуги.

2. Как обозначают множество и его элементы?

Для обозначения множеств принято использовать большие (прописные) буквы латинского алфавита, например: $A, B, C, X$. Элементы, из которых состоит множество, обычно обозначают малыми (строчными) буквами латинского алфавита: $a, b, c, x$.

Если множество задается перечислением его элементов, то элементы записывают в фигурных скобках через запятую. Например, запись $A = \{a, b, c\}$ означает, что множество $A$ состоит из элементов $a, b$ и $c$.

Ответ: Множества обозначают большими латинскими буквами ($A, B, C$), а их элементы — малыми латинскими буквами ($a, b, c$). Элементы множества перечисляются в фигурных скобках, например, $A = \{a, b, c\}$.

3. Как обозначают множества натуральных, целых и рациональных чисел?

В математике существуют стандартные обозначения для основных числовых множеств:

• Множество натуральных чисел (числа, используемые при счете: 1, 2, 3, ...) обозначается символом $\mathbb{N}$. Таким образом, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.
• Множество целых чисел (натуральные числа, им противоположные и ноль: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) обозначается символом $\mathbb{Z}$. Таким образом, $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• Множество рациональных чисел (числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное) обозначается символом $\mathbb{Q}$.

Ответ: Множество натуральных чисел обозначают $\mathbb{N}$, множество целых чисел — $\mathbb{Z}$, множество рациональных чисел — $\mathbb{Q}$.

4. Как записать, что элемент $a$ принадлежит множеству $A$? Не принадлежит множеству $A$?

Для записи принадлежности элемента множеству используется специальный символ $\in$ (принадлежит). Запись $a \in A$ читается как "элемент $a$ принадлежит множеству $A$".

Чтобы записать, что элемент не принадлежит множеству, используется перечеркнутый символ $\notin$ (не принадлежит). Запись $a \notin A$ читается как "элемент $a$ не принадлежит множеству $A$".

Например, если $A = \{1, 2, 3\}$, то $2 \in A$, а $4 \notin A$.

Ответ: Принадлежность элемента $a$ множеству $A$ записывается как $a \in A$. Непринадлежность записывается как $a \notin A$.

5. Какие существуют способы задания множеств?

Существуют два основных способа задания множеств:

1. Перечисление элементов. Этот способ заключается в прямом перечислении всех элементов множества в фигурных скобках. Он удобен для конечных множеств с небольшим числом элементов. Например, множество дней недели: $D = \{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье\}$.
2. Задание характеристического свойства. Этот способ заключается в описании общего свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Запись имеет вид $\{x \mid P(x)\}$, что читается как "множество всех таких элементов $x$, для которых выполняется свойство $P(x)$". Например, множество четных натуральных чисел можно записать как $E = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ делится на } 2\}$.

Ответ: Множества можно задать перечислением всех его элементов или описанием их общего (характеристического) свойства.

6. Какое множество называют подмножеством данного множества?

Множество $B$ называют подмножеством множества $A$, если каждый элемент множества $B$ является также и элементом множества $A$.

Это обозначается как $B \subseteq A$. Запись читается: "$B$ является подмножеством $A$" или "$B$ содержится в $A$".

Например, если $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $B = \{2, 4\}$, то $B \subseteq A$, так как все элементы множества $B$ (числа 2 и 4) также являются элементами множества $A$.

Ответ: Подмножеством множества $A$ называют такое множество $B$, все элементы которого принадлежат множеству $A$.

7. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами?

Для наглядной иллюстрации соотношений между множествами (таких как включение, пересечение, объединение) используют диаграммы Эйлера-Венна (часто называемые просто диаграммами Венна).

На этих диаграммах множества изображаются в виде геометрических фигур, обычно кругов или овалов, на плоскости. Если одно множество является подмножеством другого, его круг изображается внутри круга большего множества. Если множества имеют общие элементы, их круги пересекаются.

Ответ: Соотношения между множествами наглядно иллюстрируют с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

8. Какое множество является подмножеством любого множества?

Пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество — это множество, которое не содержит ни одного элемента.

Оно обозначается символом $\emptyset$ или фигурными скобками без содержимого $\{\}$.

Утверждение, что $\emptyset \subseteq A$ для любого множества $A$, верно, так как выполняется определение подмножества: "каждый элемент множества $\emptyset$ является элементом множества $A$". Это утверждение истинно, поскольку в пустом множестве нет элементов, которые могли бы нарушить это условие.

Ответ: Пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством любого множества.

9. Какое множество называют собственным подмножеством данного множества?

Множество $B$ называют собственным (или строгим) подмножеством множества $A$, если $B$ является подмножеством $A$, но при этом $B$ не равно $A$ ($B \neq A$).

Это означает, что все элементы множества $B$ содержатся в множестве $A$, и при этом в множестве $A$ есть хотя бы один элемент, который не принадлежит множеству $B$.

Для обозначения собственного подмножества используется символ $\subset$. Запись $B \subset A$ означает, что $B$ — собственное подмножество $A$.

Например, если $A = \{1, 2, 3\}$, то множество $B = \{1, 2\}$ является собственным подмножеством $A$, а множество $C = \{1, 2, 3\}$ не является собственным подмножеством $A$, так как $C=A$.

Ответ: Собственным подмножеством множества $A$ называют такое его подмножество $B$, которое не совпадает с самим множеством $A$ ($B \neq A$).