Номер 1.3, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.3, страница 8.

Условие.

1.3. Поставьте вместо звёздочки знак $\in$ или $\notin$ так, чтобы получилось верное утверждение:

1) $5 \in N$;

2) $0 \notin N$;

3) $-5 \in Q$;

4) $-\frac{1}{2} \notin Z$;

5) $3,14 \in Q$;

6) $\pi \notin Q$.

Решение.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения основных числовых множеств:

• $N$ – множество натуральных чисел. Это числа, используемые для счета предметов: $\{1, 2, 3, 4, ...\}$. В некоторых определениях ноль также включается в натуральные числа, но в российской школьной программе, как правило, нет.
• $Z$ – множество целых чисел. Оно включает натуральные числа, им противоположные и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ – множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число ($p \in Z$), а $q$ – натуральное число ($q \in N$). К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.

Знак $\in$ означает "принадлежит множеству", а знак $\notin$ – "не принадлежит множеству".

1) $5 * N$

Число 5 является положительным целым числом и используется при счете. Следовательно, оно принадлежит множеству натуральных чисел.

Ответ: $5 \in N$

2) $0 * N$

Согласно стандартному определению, принятому в школьной математике в России, ноль не является натуральным числом, так как счет начинается с единицы. Следовательно, 0 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Ответ: $0 \notin N$

3) $-5 * Q$

Число -5 является целым. Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $-5 = \frac{-5}{1}$. Так как -5 представимо в виде дроби, где числитель и знаменатель – целые числа (и знаменатель не равен нулю), оно является рациональным числом.

Ответ: $-5 \in Q$

4) $-\frac{1}{2} * Z$

Множество целых чисел $Z$ состоит только из целых чисел, без дробной части. Число $-\frac{1}{2}$ является дробным, поэтому оно не принадлежит множеству целых чисел.

Ответ: $-\frac{1}{2} \notin Z$

5) $3,14 * Q$

Число 3,14 является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби: $3,14 = \frac{314}{100}$. Следовательно, 3,14 является рациональным числом.

Ответ: $3,14 \in Q$

6) $\pi * Q$

Число $\pi$ (пи) является иррациональным числом. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$ с целыми $p$ и $q$. Его десятичное представление бесконечно и непериодично. Множество рациональных чисел не включает иррациональные числа. Следовательно, $\pi$ не принадлежит множеству рациональных чисел.

Ответ: $\pi \notin Q$