Номер 1.8, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.8, страница 8.

Условие.

1.8. Пусть A, B, C — три данные точки плоскости. Что представляет собой множество точек M этой плоскости $ \{M \mid MA = MB = MC\} $?

Решение.

Искомое множество точек $M$ — это геометрическое место точек, равноудаленных от трех данных точек $A$, $B$ и $C$. Условие $MA = MB = MC$ равносильно одновременному выполнению двух условий: $MA = MB$ и $MB = MC$.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок $AB$).

Следовательно, множество точек $M$, для которых $MA=MB$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Обозначим его $l_{AB}$.

Аналогично, множество точек $M$, для которых $MB=MC$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Обозначим его $l_{BC}$.

Точка $M$ должна принадлежать обоим этим множествам одновременно, то есть искомое множество является пересечением двух прямых — серединных перпендикуляров $l_{AB}$ и $l_{BC}$.

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от взаимного расположения точек $A, B$ и $C$.

1. Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой.

В этом случае точки $A$, $B$, $C$ являются вершинами треугольника $\triangle ABC$. Отрезки $AB$ и $BC$ — это две его стороны, которые не лежат на одной прямой. Серединные перпендикуляры к этим сторонам, $l_{AB}$ и $l_{BC}$, также не параллельны и, следовательно, пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка равноудалена от вершин $A$ и $B$ (так как лежит на $l_{AB}$) и от вершин $B$ и $C$ (так как лежит на $l_{BC}$). Таким образом, она равноудалена от всех трех вершин $A, B, C$. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

2. Точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой.

Предположим, что точки $A, B, C$ различны и лежат на некоторой прямой $L$. Серединный перпендикуляр $l_{AB}$ к отрезку $AB$ перпендикулярен прямой $L$. Серединный перпендикуляр $l_{BC}$ к отрезку $BC$ также перпендикулярен прямой $L$. Поскольку обе прямые $l_{AB}$ и $l_{BC}$ перпендикулярны одной и той же прямой $L$, они параллельны друг другу. Так как точки $A, B, C$ различны, середины отрезков $AB$ и $BC$ не совпадают, а значит, прямые $l_{AB}$ и $l_{BC}$ являются двумя различными параллельными прямыми. Две различные параллельные прямые не имеют точек пересечения. Следовательно, в этом случае не существует точки $M$, удовлетворяющей заданному условию, и искомое множество является пустым.

Ответ: Если точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, то искомое множество состоит из одной точки — центра окружности, описанной около треугольника $ABC$. Если точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, то искомое множество является пустым.