Номер 1.14, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.14, страница 9.

Условие.

1.14. Равны ли множества А и В:

1) $A = \{1, 2\}, B = \{2, 1\};$

2) $A = \{1\}, B = \{\{1\}\};$

3) $A = \{(0, 1)\}, B = \{(1, 0)\};$

4) $A = \{x \mid x \le 3, x \in \mathbb{Z}\}, B = \{x \mid x < 4, x \in \mathbb{Z}\};$

5) $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \text{ кратно 2 и 3}\}, B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \text{ кратно 6}\};$

6) $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \le 15, x = 19k, k \in \mathbb{Z}\}, B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 3 < x < 4\}?$

Решение.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Порядок элементов в множестве не имеет значения. Проверим равенство для каждой пары множеств.

1) $A = \{1, 2\}, B = \{2, 1\}$

Множество A состоит из элементов 1 и 2. Множество B состоит из элементов 2 и 1. Поскольку порядок элементов в множестве не важен, оба множества содержат одни и те же элементы.

Ответ: множества равны, $A = B$.

2) $A = \{1\}, B = \{\{1\}\}$

Множество A содержит один элемент: число 1. Множество B содержит один элемент: множество $\{1\}$. Число $1$ и множество $\{\{1\}\}$ являются разными объектами. Следовательно, элементы множеств A и B не совпадают.

Ответ: множества не равны, $A \ne B$.

3) $A = \{(0; 1)\}, B = \{(1; 0)\}$

Множество A содержит один элемент — упорядоченную пару $(0; 1)$. Множество B также содержит один элемент — упорядоченную пару $(1; 0)$. В упорядоченных парах порядок элементов имеет значение, поэтому $(0; 1) \ne (1; 0)$. Множества состоят из разных элементов.

Ответ: множества не равны, $A \ne B$.

4) $A = \{x | x \le 3, x \in \mathbb{Z}\}, B = \{x | x < 4, x \in \mathbb{Z}\}$

Множество A — это множество всех целых чисел, которые меньше или равны 3. То есть, $A = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Множество B — это множество всех целых чисел, которые строго меньше 4. То есть, $B = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Условие $x \le 3$ для целых чисел эквивалентно условию $x < 4$. Таким образом, множества A и B содержат одни и те же элементы.

Ответ: множества равны, $A = B$.

5) $A = \{x | x \in \mathbb{N}, x \text{ кратно 2 и 3}\}, B = \{x | x \in \mathbb{N}, x \text{ кратно 6}\}$

Множество A состоит из натуральных чисел ($\mathbb{N}$), которые делятся одновременно и на 2, и на 3. Число делится на 2 и 3 тогда и только тогда, когда оно делится на их наименьшее общее кратное, равное 6. Таким образом, A — это множество натуральных чисел, кратных 6: $A = \{6, 12, 18, ...\}$.

Множество B по определению является множеством натуральных чисел, кратных 6: $B = \{6, 12, 18, ...\}$.

Следовательно, множества A и B идентичны.

Ответ: множества равны, $A = B$.

6) $A = \{x | x \in \mathbb{N}, x \le 15, x = 19k, k \in \mathbb{Z}\}, B = \{x | x \in \mathbb{N}, 3 < x < 4\}$

Рассмотрим множество A. Мы ищем натуральные числа $x$, которые не превосходят 15 и при этом кратны 19. Проверим числа, кратные 19: $..., -19, 0, 19, 38, ...$. Единственное натуральное число среди них, которое могло бы подойти, это 19. Однако $19 > 15$, поэтому условие $x \le 15$ не выполняется. Следовательно, в множестве A нет ни одного элемента, и оно является пустым множеством: $A = \emptyset$.

Рассмотрим множество B. Мы ищем натуральные числа $x$, которые строго больше 3 и строго меньше 4. Между 3 и 4 нет натуральных чисел. Следовательно, B также является пустым множеством: $B = \emptyset$.

Поскольку оба множества пусты, они равны.

Ответ: множества равны, $A = B$.