Номер 1.18, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.18, страница 9.

Условие.

1.18. Докажите, что если $A \subset B$ и $B \subset C$, то $A \subset C$.

Решение.

Для доказательства утверждения, что если $A \subset B$ и $B \subset C$, то $A \subset C$, воспользуемся определением подмножества.

Определение: Множество $X$ является подмножеством множества $Y$ (обозначается $X \subset Y$), если каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$. Формально это можно записать так: $X \subset Y \iff \forall x (x \in X \implies x \in Y)$.

Нам дано:

1. $A \subset B$. Это означает, что для любого элемента $x$, если $x \in A$, то $x \in B$.

2. $B \subset C$. Это означает, что для любого элемента $x$, если $x \in B$, то $x \in C$.

Нам нужно доказать, что $A \subset C$. То есть, нам нужно показать, что для любого элемента $x$, если $x \in A$, то $x \in C$.

Доказательство:

Возьмем произвольный элемент $x$ из множества $A$. То есть, пусть $x \in A$.

Поскольку $A \subset B$ (согласно первому условию), из того, что $x \in A$, следует, что $x \in B$.

Далее, поскольку $B \subset C$ (согласно второму условию), из того, что $x \in B$, следует, что $x \in C$.

Таким образом, мы начали с предположения, что $x \in A$, и пришли к выводу, что $x \in C$. Это означает, что любой элемент множества $A$ также является элементом множества $C$.

По определению подмножества, это означает, что $A \subset C$.

Утверждение доказано. Это свойство называется транзитивностью отношения включения множеств.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что если взять любой элемент из множества $A$, то он, в силу условия $A \subset B$, принадлежит и множеству $B$. А так как $B \subset C$, то этот же элемент принадлежит и множеству $C$. Следовательно, любой элемент из $A$ принадлежит $C$, что по определению означает $A \subset C$.