Номер 1.22, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.22, страница 10.

Условие.

1.22. Какое из утверждений $A \subset B$ или $B \subset A$ является верным для данных множеств:

$A = \{x \mid x = 4n + 2, n \in N\}$; $B = \{x \mid x = 8n + 2, n \in N\}$?

Решение.

Для того чтобы определить, какое из утверждений $A \subset B$ или $B \subset A$ является верным, необходимо проанализировать определения множеств $A$ и $B$.

Множество $A$ задано формулой $A = \{x | x = 4n + 2, n \in \mathbb{N}\}$. Элементы этого множества — это числа, которые можно представить в виде $4n + 2$, где $n$ — натуральное число. Выпишем несколько первых элементов множества $A$, считая $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$:

$n=1 \Rightarrow x = 4(1) + 2 = 6$
$n=2 \Rightarrow x = 4(2) + 2 = 10$
$n=3 \Rightarrow x = 4(3) + 2 = 14$
Таким образом, $A = \{6, 10, 14, 18, 22, ...\}$.

Множество $B$ задано формулой $B = \{x | x = 8n + 2, n \in \mathbb{N}\}$. Элементы этого множества — это числа, которые можно представить в виде $8n + 2$, где $n$ — натуральное число. Выпишем несколько первых элементов множества $B$:

$n=1 \Rightarrow x = 8(1) + 2 = 10$
$n=2 \Rightarrow x = 8(2) + 2 = 18$
$n=3 \Rightarrow x = 8(3) + 2 = 26$
Таким образом, $B = \{10, 18, 26, 34, ...\}$.

Теперь последовательно проверим оба утверждения.

Проверка утверждения $A \subset B$

Утверждение $A \subset B$ (множество $A$ является подмножеством множества $B$) будет верным, если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$.
Рассмотрим первый элемент множества $A$ — число 6. Если $6 \in B$, то должно существовать натуральное число $n$ такое, что $8n + 2 = 6$.
Решим это уравнение относительно $n$:
$8n = 6 - 2$
$8n = 4$
$n = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Поскольку $n = 1/2$ не является натуральным числом ($n \notin \mathbb{N}$), то элемент $6$ не принадлежит множеству $B$.
Так как мы нашли элемент множества $A$, который не принадлежит множеству $B$, то утверждение $A \subset B$ является ложным.

Проверка утверждения $B \subset A$

Утверждение $B \subset A$ (множество $B$ является подмножеством множества $A$) будет верным, если каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $A$.
Возьмем произвольный элемент $x$ из множества $B$. По определению, для этого элемента существует натуральное число $k$ ($k \in \mathbb{N}$) такое, что $x = 8k + 2$.
Чтобы этот элемент $x$ принадлежал множеству $A$, должно существовать натуральное число $m$ ($m \in \mathbb{N}$) такое, что $x = 4m + 2$.
Представим выражение для $x$ из множества $B$ в другом виде:
$x = 8k + 2 = 4 \cdot (2k) + 2$
Если мы положим $m = 2k$, то выражение примет вид $x = 4m + 2$.
Так как по условию $k$ — натуральное число ($k \ge 1$), то $m = 2k$ также будет натуральным числом ($m \ge 2$).
Это доказывает, что любой элемент $x$ из множества $B$ можно представить в форме, требуемой для элементов множества $A$. Следовательно, каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$.
Таким образом, утверждение $B \subset A$ является верным.

Ответ: $B \subset A$.