Номер 1.15, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.15, страница 9.

Условие.

1.15. Укажите равные множества:

$A = \{x \mid x = 6n - 3, n \in \mathbf{N}\}$;

$B = \{x \mid x = 3n, n \in \mathbf{N}\}$;

$C = \{x \mid x \in \mathbf{N}, x \text{ кратно 3 и не кратно 2}\}$;

$D = \{x \mid x = 6n + 3, n \in \mathbf{N}\}$.

Решение.

Для того чтобы определить, какие из данных множеств равны, проанализируем элементы, входящие в каждое из них. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Будем исходить из того, что $\mathbb{N}$ — это множество натуральных чисел, то есть $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$.

A

Множество $A = \{x \mid x = 6n - 3, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов этого множества, подставляя последовательные значения $n$:

• При $n = 1$: $x = 6(1) - 3 = 3$
• При $n = 2$: $x = 6(2) - 3 = 9$
• При $n = 3$: $x = 6(3) - 3 = 15$

Таким образом, $A = \{3, 9, 15, 21, \ldots\}$.

Рассмотрим общую формулу элемента: $x = 6n - 3 = 3(2n-1)$. Из нее видно, что:

1. Все элементы множества $A$ кратны 3.
2. Выражение $2n-1$ для $n \in \mathbb{N}$ дает все нечетные натуральные числа $(1, 3, 5, \ldots)$. Следовательно, $A$ — это множество произведений тройки на все нечетные натуральные числа.
3. Каждый элемент $x = 6n - 3$ является нечетным, так как представляет собой разность четного числа $6n$ и нечетного числа 3.

Итак, $A$ — это множество всех нечетных натуральных чисел, кратных 3.

B

Множество $B = \{x \mid x = 3n, n \in \mathbb{N}\}$.

Это множество всех натуральных чисел, кратных 3. Его первые элементы:

• При $n = 1$: $x = 3(1) = 3$
• При $n = 2$: $x = 3(2) = 6$
• При $n = 3$: $x = 3(3) = 9$

Таким образом, $B = \{3, 6, 9, 12, \ldots\}$. Это множество содержит как четные, так и нечетные числа.

C

Множество $C = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \text{ кратно 3 и не кратно 2}\}$.

Согласно определению, это множество натуральных чисел, которые делятся на 3 и не делятся на 2. Числа, не кратные 2, являются нечетными. Следовательно, $C$ — это множество всех нечетных натуральных чисел, кратных 3.

Найдем его элементы, перебирая числа, кратные 3, и отбирая из них только нечетные:

Из ряда чисел, кратных 3: $\{3, 6, 9, 12, 15, \ldots\}$, выбираем нечетные.

Получаем $C = \{3, 9, 15, 21, \ldots\}$.

D

Множество $D = \{x \mid x = 6n + 3, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов этого множества:

• При $n = 1$: $x = 6(1) + 3 = 9$
• При $n = 2$: $x = 6(2) + 3 = 15$
• При $n = 3$: $x = 6(3) + 3 = 21$

Таким образом, $D = \{9, 15, 21, 27, \ldots\}$.

Элементы этого множества также являются нечетными и кратными 3 (поскольку $x = 6n + 3 = 3(2n+1)$). Однако, в отличие от $A$ и $C$, наименьшим элементом здесь является 9, а не 3.

Сравнение и вывод

Сравнивая полученные множества:

$A = \{3, 9, 15, 21, \ldots\}$

$B = \{3, 6, 9, 12, \ldots\}$

$C = \{3, 9, 15, 21, \ldots\}$

$D = \{9, 15, 21, 27, \ldots\}$

Мы видим, что множества $A$ и $C$ состоят из одних и тех же элементов, так как оба представляют собой множество всех нечетных натуральных чисел, кратных 3.

Множество $B$ отличается от них, так как содержит четные числа (например, 6).

Множество $D$ является собственным подмножеством множеств $A$ и $C$ (то есть $D \subset A$ и $D \subset C$), но не равно им, так как не содержит элемент 3.

Ответ: $A = C$.