Номер 1.16, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.16, страница 9.

Условие.

1.16. Какие из следующих множеств равны пустому множеству:

1) $A = \{x \mid x \neq x\}$;

2) $B = \{x \mid x \in \mathbf{Z}, \frac{1}{2}x - 2 = 0\}$;

3) $C = \{x \mid x \in \mathbf{Z}, |x| < 1\}$;

4) $D = \{x \mid 3x^4 + 5x^2 + 7 = 0\}$;

5) $E = \{x \mid x > |x|\}$?

Решение.

Пустое множество (обозначается $\emptyset$ или {}) — это множество, не содержащее ни одного элемента. Проанализируем каждое из предложенных множеств, чтобы определить, является ли оно пустым.

1)

Рассмотрим множество $A = \{x | x \neq x\}$. Это множество всех элементов $x$, которые не равны самим себе. Согласно свойству рефлексивности равенства, любое число (или математический объект) всегда равно самому себе, то есть $x = x$ — это тождественно верное утверждение. Следовательно, условие $x \neq x$ является ложным для любого $x$. Это означает, что не существует ни одного элемента, удовлетворяющего данному условию. Таким образом, множество A не содержит элементов.

Ответ: Множество A равно пустому множеству.

2)

Рассмотрим множество $B = \{x | x \in \mathbb{Z}, \frac{1}{2}x - 2 = 0\}$. Это множество всех целых чисел $x$, удовлетворяющих уравнению $\frac{1}{2}x - 2 = 0$. Решим данное уравнение:$\frac{1}{2}x = 2$$x = 4$Решением уравнения является $x=4$. Теперь необходимо проверить, принадлежит ли это решение множеству целых чисел $\mathbb{Z}$. Число 4 является целым. Следовательно, множество B содержит один элемент — число 4.$B = \{4\}$

Ответ: Множество B не является пустым.

3)

Рассмотрим множество $C = \{x | x \in \mathbb{Z}, |x| < 1\}$. Это множество всех целых чисел $x$, модуль которых строго меньше 1. Неравенство $|x| < 1$ эквивалентно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Единственным целым числом, которое удовлетворяет этому условию, является 0. Следовательно, множество C содержит один элемент — число 0.$C = \{0\}$

Ответ: Множество C не является пустым.

4)

Рассмотрим множество $D = \{x | 3x^4 + 5x^2 + 7 = 0\}$. Это множество всех действительных чисел $x$, которые являются корнями данного уравнения. Проанализируем левую часть уравнения. Для любого действительного числа $x$:$x^4 \ge 0$, следовательно $3x^4 \ge 0$.$x^2 \ge 0$, следовательно $5x^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых $3x^4$ и $5x^2$ также неотрицательна: $3x^4 + 5x^2 \ge 0$. Если прибавить к этому выражению положительное число 7, то получим:$3x^4 + 5x^2 + 7 \ge 7$Это означает, что значение левой части уравнения всегда не меньше 7 и, следовательно, не может равняться нулю. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому множество D не содержит элементов.

Ответ: Множество D равно пустому множеству.

5)

Рассмотрим множество $E = \{x | x > |x|\}$. Это множество всех действительных чисел $x$, которые строго больше своего модуля. Проверим это условие для разных $x$:

• Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x > x$, что является ложным для любого $x$.
• Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $x > -x$. Прибавив $x$ к обеим частям, получим $2x > 0$, что равносильно $x > 0$. Это противоречит нашему исходному предположению, что $x < 0$.

Таким образом, не существует ни одного действительного числа $x$, для которого выполнялось бы неравенство $x > |x|$. Множество E не содержит элементов.

Ответ: Множество E равно пустому множеству.

Итак, пустыми являются множества A, D и E.