Номер 1.23, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.23, страница 10.

Условие.

1.23. Даны множества ${7}$, ${11}$, ${19}$, ${7, 11}$, ${7, 19}$, ${11, 19}$, $\emptyset$, являющиеся всеми собственными подмножествами некоторого множества $A$. Запишите множество $A$.

Решение.

По определению, собственное подмножество множества $A$ — это любое его подмножество, не совпадающее с самим множеством $A$.

Если множество $A$ содержит $n$ элементов (его мощность равна $n$, $|A|=n$), то общее количество всех его подмножеств равно $2^n$. Количество собственных подмножеств, соответственно, равно $2^n - 1$, так как мы исключаем само множество $A$.

В условии задачи перечислены все собственные подмножества множества $A$:$\{7\}, \{11\}, \{19\}, \{7, 11\}, \{7, 19\}, \{11, 19\}, \emptyset$.

Подсчитаем их количество. Всего дано 7 множеств.

Используя формулу для количества собственных подмножеств, мы можем составить уравнение:$2^{|A|} - 1 = 7$

Решим это уравнение относительно $|A|$:$2^{|A|} = 7 + 1$$2^{|A|} = 8$$2^{|A|} = 2^3$$|A| = 3$

Таким образом, мы выяснили, что искомое множество $A$ состоит из трех элементов.

Чтобы найти сами элементы множества $A$, мы должны взять объединение всех данных подмножеств, так как каждый элемент любого подмножества должен принадлежать и исходному множеству $A$.

$\{7\} \cup \{11\} \cup \{19\} \cup \{7, 11\} \cup \{7, 19\} \cup \{11, 19\} \cup \emptyset = \{7, 11, 19\}$

Объединение всех данных собственных подмножеств — это множество $\{7, 11, 19\}$, которое содержит ровно 3 элемента, что совпадает с вычисленной мощностью множества $A$. Следовательно, это и есть искомое множество $A$.

Проверка:Если $A = \{7, 11, 19\}$, то его всеми подмножествами (булеаном) являются:$\emptyset$,$\{7\}$, $\{11\}$, $\{19\}$,$\{7, 11\}$, $\{7, 19\}$, $\{11, 19\}$,$\{7, 11, 19\}$. Всего $2^3=8$ подмножеств. Собственными подмножествами являются все перечисленные, кроме самого множества $\{7, 11, 19\}$. Их ровно 7, и они в точности совпадают с множествами, данными в условии задачи.

Ответ: $A = \{7, 11, 19\}$.