Номер 1.29, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.29, страница 11.

Условие.

1.29. Докажите, что $ \{x | x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z}\} = \{x | x = 3n + 2, n \in \mathbb{Z}\} $

Решение.

Для доказательства равенства двух множеств $A = \{x | x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z}\}$ и $B = \{x | x = 3n + 2, n \in \mathbb{Z}\}$ необходимо доказать два взаимных включения: $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$.

1. Докажем, что $A \subseteq B$.

Возьмем произвольный элемент $x$ из множества $A$. По определению этого множества, существует такое целое число $k \in \mathbb{Z}$, что $x = 3k - 1$.

Наша задача — показать, что этот элемент $x$ также принадлежит множеству $B$, то есть его можно представить в виде $3n + 2$ для некоторого целого числа $n$.

Преобразуем выражение для $x$:

$x = 3k - 1 = 3k - 3 + 2 = 3(k - 1) + 2$.

Обозначим $n = k - 1$. Поскольку $k$ — целое число, то и $n$ также является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, мы представили $x$ в виде $x = 3n + 2$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это означает, что $x$ принадлежит множеству $B$.

Так как $x$ был выбран произвольно, мы доказали, что любой элемент множества $A$ является также элементом множества $B$, то есть $A \subseteq B$.

2. Докажем, что $B \subseteq A$.

Теперь возьмем произвольный элемент $y$ из множества $B$. По определению этого множества, существует такое целое число $n \in \mathbb{Z}$, что $y = 3n + 2$.

Наша задача — показать, что этот элемент $y$ также принадлежит множеству $A$, то есть его можно представить в виде $3k - 1$ для некоторого целого числа $k$.

Преобразуем выражение для $y$:

$y = 3n + 2 = 3n + 3 - 1 = 3(n + 1) - 1$.

Обозначим $k = n + 1$. Поскольку $n$ — целое число, то и $k$ также является целым числом ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, мы представили $y$ в виде $y = 3k - 1$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что $y$ принадлежит множеству $A$.

Так как $y$ был выбран произвольно, мы доказали, что любой элемент множества $B$ является также элементом множества $A$, то есть $B \subseteq A$.

Поскольку мы доказали, что $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$, то по определению равенства множеств, $A = B$.

Ответ: Равенство множеств $\{x | x = 3k - 1, k \in \mathbb{Z}\}$ и $\{x | x = 3n + 2, n \in \mathbb{Z}\}$ доказано.