Номер 1.27, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.27, страница 11.

Условие.

1.27. Известно, что для любого множества $B$ множество $A$ является его подмножеством. Найдите множество $A$.

Решение.

По условию задачи, множество $A$ является подмножеством любого множества $B$. Это можно записать в виде логического выражения: $ \forall B (A \subseteq B) $.

Вспомним определение подмножества: множество $X$ является подмножеством множества $Y$ (обозначается как $X \subseteq Y$) тогда и только тогда, когда каждый элемент множества $X$ также является элементом множества $Y$.

Докажем от противного. Предположим, что множество $A$ не является пустым, то есть оно содержит хотя бы один элемент. Назовем этот элемент $a$. Таким образом, $a \in A$.

Поскольку условие $A \subseteq B$ должно выполняться для любого множества $B$, оно должно выполняться и для частного случая, когда $B$ — это пустое множество ($B = \emptyset$).

Итак, должно быть верно, что $A \subseteq \emptyset$. Согласно определению подмножества, это означает, что каждый элемент из $A$ должен также быть элементом $\emptyset$. Так как мы предположили, что $a \in A$, то из этого следует, что $a \in \emptyset$.

Но пустое множество по определению не содержит ни одного элемента. Следовательно, утверждение $a \in \emptyset$ ложно. Мы получили противоречие.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение (о том, что $A$ не является пустым) неверно. Следовательно, в множестве $A$ не может быть ни одного элемента. Единственное множество, не имеющее элементов, — это пустое множество.

Таким образом, $A = \emptyset$.

Проверим это решение. Является ли пустое множество подмножеством любого множества $B$? Да, по одному из основных свойств теории множеств, пустое множество является подмножеством любого другого множества. Условие задачи выполняется.

Ответ: $A = \emptyset$ (пустое множество).