Номер 1.30, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.30, страница 11.

Условие.

1.30. Докажите, что ${x | x = 4n - 1, n \in \mathbb{Z}} = {x | x = 4m + 3, m \in \mathbb{Z}}$.

Решение.

Для доказательства равенства двух множеств $A = \{x | x = 4n - 1, n \in \mathbb{Z}\}$ и $B = \{x | x = 4m + 3, m \in \mathbb{Z}\}$ необходимо показать, что каждое множество является подмножеством другого, то есть доказать два утверждения:

1. Любой элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$ ($A \subseteq B$).
2. Любой элемент множества $B$ принадлежит множеству $A$ ($B \subseteq A$).

1. Докажем, что $A \subseteq B$.

Возьмём произвольный элемент $x$ из множества $A$. По определению множества $A$, существует такое целое число $n \in \mathbb{Z}$, что $x = 4n - 1$.

Преобразуем это выражение, чтобы привести его к виду $4m + 3$:

$x = 4n - 1 = 4n - 4 + 3 = 4(n - 1) + 3$

Обозначим $m = n - 1$. Поскольку $n$ является целым числом, то и $m$ также является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, мы представили $x$ в виде $x = 4m + 3$, где $m \in \mathbb{Z}$. Это означает, что $x$ принадлежит множеству $B$.

Поскольку мы выбрали произвольный элемент $x$ из $A$ и показали, что он принадлежит $B$, мы доказали, что $A \subseteq B$.

2. Докажем, что $B \subseteq A$.

Возьмём произвольный элемент $y$ из множества $B$. По определению множества $B$, существует такое целое число $m \in \mathbb{Z}$, что $y = 4m + 3$.

Преобразуем это выражение, чтобы привести его к виду $4n - 1$:

$y = 4m + 3 = 4m + 4 - 1 = 4(m + 1) - 1$

Обозначим $n = m + 1$. Поскольку $m$ является целым числом, то и $n$ также является целым числом ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, мы представили $y$ в виде $y = 4n - 1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это означает, что $y$ принадлежит множеству $A$.

Поскольку мы выбрали произвольный элемент $y$ из $B$ и показали, что он принадлежит $A$, мы доказали, что $B \subseteq A$.

Так как $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$, то множества $A$ и $B$ равны.

Ответ: Равенство множеств $\{x | x = 4n - 1, n \in \mathbb{Z}\} = \{x | x = 4m + 3, m \in \mathbb{Z}\}$ доказано.