Номер 1.25, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.25, страница 10.

Условие.

1.25. На языке «необходимо и достаточно» опишите принадлежность элемента $x$ множествам $A, B$ и $C$ (рис. 1.4).

а) Для того чтобы $x$ принадлежал $B$, необходимо, чтобы $x$ принадлежал $A$.

Для того чтобы $x$ принадлежал $A$, достаточно, чтобы $x$ принадлежал $B$.

В символьном виде: $(x \in B) \implies (x \in A)$

б) Для того чтобы $x$ принадлежал $C$, необходимо, чтобы $x$ принадлежал $A$ и $x$ принадлежал $B$.

Для того чтобы $x$ принадлежал $A$ (или $B$), достаточно, чтобы $x$ принадлежал $C$.

В символьном виде: $(x \in C) \implies (x \in A \land x \in B)$

в) Для того чтобы $x$ принадлежал $B$, необходимо, чтобы $x$ принадлежал $A$ и не принадлежал $C$.

Для того чтобы $x$ принадлежал $C$, необходимо, чтобы $x$ принадлежал $A$ и не принадлежал $B$.

Для того чтобы $x$ принадлежал $A$, достаточно, чтобы $x$ принадлежал $B$ или $x$ принадлежал $C$.

В символьном виде:

$(x \in B) \implies (x \in A \land x \notin C)$

$(x \in C) \implies (x \in A \land x \notin B)$

$(x \in B \lor x \in C) \implies (x \in A)$

Решение.

а

На диаграмме показано, что множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subset A$). Это означает, что каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $A$. Исходя из этого, можно сформулировать следующие условия:

• Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $B$, необходимо, чтобы он принадлежал множеству $A$. (Если $x \in B$, то из этого следует, что $x \in A$).
• Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $A$, достаточно, чтобы он принадлежал множеству $B$. (Если $x \in B$, этого достаточно, чтобы утверждать, что $x \in A$).

Ответ: Для принадлежности элемента $x$ множеству $B$ необходимо его нахождение в множестве $A$. Для принадлежности элемента $x$ множеству $A$ достаточно его нахождения в множестве $B$.

б

На диаграмме множество $C$ представляет собой пересечение множеств $A$ и $B$ ($C = A \cap B$). Это означает, что множество $C$ состоит из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Следовательно, для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $C$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал как множеству $A$, так и множеству $B$. Иными словами, условия $x \in A$ и $x \in B$ являются одновременно и необходимыми, и достаточными для выполнения условия $x \in C$.

Ответ: Для принадлежности элемента $x$ множеству $C$ необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал одновременно множествам $A$ и $B$.

в

На данной диаграмме множества $B$ и $C$ являются непересекающимися ($B \cap C = \emptyset$) подмножествами множества $A$ ($B \subset A$ и $C \subset A$). Это означает, что любой элемент множеств $B$ и $C$ также является элементом множества $A$, но ни один элемент не может принадлежать $B$ и $C$ одновременно.

• Поскольку $B \subset A$ и $C \subset A$, для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $B$ (или множеству $C$), необходимо, чтобы он принадлежал множеству $A$.
• С другой стороны, принадлежность элемента $x$ множеству $B$ или множеству $C$ (то есть их объединению $B \cup C$) является достаточным, но не необходимым условием для его принадлежности множеству $A$ (поскольку в $A$ могут быть элементы, не входящие ни в $B$, ни в $C$).

Ответ: Для принадлежности элемента $x$ множеству $B$ или множеству $C$ необходимо, чтобы он принадлежал множеству $A$. Для принадлежности элемента $x$ множеству $A$ достаточно, чтобы он принадлежал множеству $B$ или множеству $C$.