Номер 1.26, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.26, страница 10.

Условие.

1.26. Вместо многоточия поставьте одно из слов — «необходимо» или «достаточно»:

1) для того чтобы треугольник был равносторонним, ..., чтобы два его угла были равны;

2) для того чтобы число делилось нацело на 3, ..., чтобы оно делилось нацело на 9;

3) для того чтобы последняя цифра десятичной записи натурального числа была 0, ..., чтобы число было кратно 5.

Решение.

1) Чтобы разобраться, какое слово нужно вставить, проанализируем два утверждения: А – «треугольник равносторонний» и В – «два угла треугольника равны».
Необходимое условие: Если утверждение А верно (треугольник равносторонний), то все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, любые два его угла равны, и утверждение В тоже верно. Значит, В является необходимым условием для А.
Достаточное условие: Если утверждение В верно (два угла треугольника равны), то треугольник является равнобедренным. Однако он не обязательно будет равносторонним. Например, треугольник с углами $70^\circ$, $70^\circ$ и $40^\circ$ является равнобедренным, но не равносторонним. Следовательно, В не является достаточным условием для А.
Таким образом, для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы два его угла были равны.
Ответ: необходимо.

2) Проанализируем утверждения: А – «число делится нацело на 3» и В – «число делится нацело на 9».
Необходимое условие: Если число делится нацело на 3 (верно А), то должно ли оно обязательно делиться на 9 (верно В)? Нет. Например, число 6 делится на 3, но не делится на 9. Значит, В не является необходимым условием для А.
Достаточное условие: Если число делится нацело на 9 (верно В), то должно ли оно обязательно делиться на 3 (верно А)? Да. Любое число, кратное 9, можно представить в виде $9k$ для некоторого целого $k$. Так как $9 = 3 \times 3$, то $9k = 3 \times (3k)$, что доказывает делимость числа на 3. Значит, В является достаточным условием для А.
Таким образом, для того чтобы число делилось нацело на 3, достаточно, чтобы оно делилось нацело на 9.
Ответ: достаточно.

3) Проанализируем утверждения: А – «последняя цифра десятичной записи натурального числа была 0» и В – «число было кратно 5».
Необходимое условие: Если последняя цифра числа – 0 (верно А), то кратно ли оно 5 (верно В)? Да. Числа, оканчивающиеся на 0, делятся на 10, а следовательно, и на 5. Значит, В является необходимым условием для А.
Достаточное условие: Если число кратно 5 (верно В), то оканчивается ли оно обязательно на 0 (верно А)? Нет. Число, кратное 5, может оканчиваться на 0 или на 5. Например, число 25 кратно 5, но его последняя цифра не 0. Значит, В не является достаточным условием для А.
Таким образом, для того чтобы последняя цифра десятичной записи натурального числа была 0, необходимо, чтобы число было кратно 5.
Ответ: необходимо.