Номер 1.28, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 1. Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество - номер 1.28, страница 11.

Условие.

1.28. Приведите пример такого одноэлементного множества, что его элемент является одновременно подмножеством данного множества.

Решение.

Пусть искомое одноэлементное множество — это $A$. Поскольку $A$ — одноэлементное, оно содержит ровно один элемент. Обозначим этот элемент через $x$. Тогда $A = \{x\}$.

Согласно условию задачи, элемент этого множества ($x$) должен быть одновременно и его подмножеством. Математически это записывается так: $x \in A$ и $x \subseteq A$. Так как $A = \{x\}$, первое условие, $x \in A$, выполняется по определению. Нам нужно удовлетворить второе условие: $x \subseteq A$, которое с учетом вида множества $A$ можно переписать как $x \subseteq \{x\}$.

Это означает, что мы ищем такой объект $x$, который является подмножеством множества, состоящего только из этого самого объекта $x$.

Рассмотрим в качестве кандидата на роль $x$ пустое множество, то есть $x = \emptyset$. Тогда искомое множество $A$ будет иметь вид: $A = \{\emptyset\}$.

Проверим, удовлетворяет ли это множество $A = \{\emptyset\}$ условиям задачи:
1. Является ли $A$ одноэлементным множеством? Да, оно содержит ровно один элемент — пустое множество $\emptyset$.
2. Является ли его элемент ($\emptyset$) подмножеством самого множества $A$ ($\{\emptyset\}$)? Другими словами, верно ли утверждение $\emptyset \subseteq \{\emptyset\}$?
Да, это утверждение верно. По определению, пустое множество является подмножеством любого множества.

Таким образом, множество $A = \{\emptyset\}$ полностью удовлетворяет всем условиям, указанным в задаче.

Ответ: $\{\emptyset\}$