Вопросы?, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - страница 15.

Условие.

1. Что называют пересечением двух множеств?

2. Что называют объединением двух множеств?

3. Как находят пересечение трёх и более множеств? Объединение трёх и более множеств?

4. Что называют разностью двух множеств?

5. Как с помощью диаграмм Эйлера иллюстрируют пересечение, объединение и разность двух множеств?

Решение.

1. Что называют пересечением двух множеств?

Пересечением двух множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Обозначается пересечение символом $\cap$. Запись $C = A \cap B$ читается как "множество $C$ есть пересечение множеств $A$ и $B$".

Формально определение пересечения записывается так: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$.

Пример: Пусть даны два множества: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Тогда их пересечением будет множество $A \cap B = \{3, 4\}$, так как только элементы 3 и 4 содержатся в обоих множествах одновременно.

Ответ: Пересечением двух множеств называется множество всех общих элементов этих множеств.

2. Что называют объединением двух множеств?

Объединением двух множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств: либо множеству $A$, либо множеству $B$, либо им обоим.

Обозначается объединение символом $\cup$. Запись $C = A \cup B$ читается как "множество $C$ есть объединение множеств $A$ и $B$".

Формально определение объединения записывается так: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$.

Пример: Пусть даны два множества: $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$. Тогда их объединением будет множество $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Обратите внимание, что общий элемент 3 включается в результирующее множество только один раз.

Ответ: Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

3. Как находят пересечение трёх и более множеств? Объединение трёх и более множеств?

Операции пересечения и объединения можно применять к любому количеству множеств. Принцип остается тем же, что и для двух множеств.

Пересечение трёх и более множеств

Пересечением трёх и более множеств является множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат каждому из этих множеств. Для нахождения пересечения, например, трёх множеств $A$, $B$ и $C$ (обозначается $A \cap B \cap C$), можно действовать последовательно: сначала найти пересечение первых двух множеств $D = A \cap B$, а затем найти пересечение результата с третьим множеством: $A \cap B \cap C = D \cap C$. Порядок выполнения операции не важен благодаря свойству ассоциативности: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$.

Пример: $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{2, 3, 4, 5\}$, $C = \{3, 4, 5, 6\}$.
$A \cap B = \{2, 3, 4\}$.
$(A \cap B) \cap C = \{2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4\}$.
Следовательно, $A \cap B \cap C = \{3, 4\}$.

Объединение трёх и более множеств

Объединением трёх и более множеств является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств $A$, $B$ и $C$ (обозначается $A \cup B \cup C$) также находится последовательно. Сначала находят объединение двух множеств $D = A \cup B$, а затем объединяют результат с третьим: $A \cup B \cup C = D \cup C$. Эта операция также ассоциативна: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$.

Пример: $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3, 4\}$, $C = \{4, 5\}$.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$.
$(A \cup B) \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Следовательно, $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Ответ: Пересечение (объединение) трёх и более множеств находят, последовательно применяя операцию пересечения (объединения) к парам множеств. Пересечение содержит элементы, общие для всех множеств, а объединение — элементы, входящие хотя бы в одно из множеств.

4. Что называют разностью двух множеств?

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

Обозначается разность символом $\setminus$ или знаком минус $-$. Запись $C = A \setminus B$ читается как "множество $C$ есть разность множеств $A$ и $B$".

Формально определение разности записывается так: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$.

Важно отметить, что в общем случае $A \setminus B \neq B \setminus A$.

Пример: Пусть даны множества $A = \{1, 2, 3, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5, 6\}$.
Разностью $A \setminus B$ будет множество $\{1, 2\}$, так как элементы 1 и 2 есть в $A$, но их нет в $B$.
Разностью $B \setminus A$ будет множество $\{5, 6\}$, так как элементы 5 и 6 есть в $B$, но их нет в $A$.

Ответ: Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, которое содержит все элементы множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.

5. Как с помощью диаграмм Эйлера иллюстрируют пересечение, объединение и разность двух множеств?

Диаграммы Эйлера (часто в этом контексте их называют диаграммами Венна) — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между множествами. Каждое множество изображается в виде круга или другой замкнутой фигуры. Взаимоотношения между множествами, такие как пересечение, объединение и разность, иллюстрируются через взаимное расположение этих фигур и закрашивание соответствующих областей.

Пересечение ($A \cap B$)
Иллюстрируется закрашиванием общей области двух кругов, то есть той части, где они перекрываются. Эта область представляет элементы, принадлежащие обоим множествам одновременно.

Объединение ($A \cup B$)
Иллюстрируется закрашиванием всей площади, занимаемой обоими кругами, включая их общую часть. Эта область представляет все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.

Разность ($A \setminus B$)
Иллюстрируется закрашиванием той части круга $A$, которая не перекрывается с кругом $B$. Эта область представляет элементы, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$.

Ответ: На диаграммах Эйлера множества изображают кругами; их пересечение — это область перекрытия кругов, объединение — вся область, занимаемая кругами, а разность $A \setminus B$ — это часть круга $A$, не входящая в круг $B$. Соответствующая область закрашивается.