Вопросы?, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - страница 15.

Вопросы? (с. 15)
Условие. Вопросы? (с. 15)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 15, Условие Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 15, Условие (продолжение 2)

1. Что называют пересечением двух множеств?

2. Что называют объединением двух множеств?

3. Как находят пересечение трёх и более множеств? Объединение трёх и более множеств?

4. Что называют разностью двух множеств?

5. Как с помощью диаграмм Эйлера иллюстрируют пересечение, объединение и разность двух множеств?

Решение. Вопросы? (с. 15)

1. Что называют пересечением двух множеств?

Пересечением двух множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Обозначается пересечение символом $\cap$. Запись $C = A \cap B$ читается как "множество $C$ есть пересечение множеств $A$ и $B$".

Формально определение пересечения записывается так: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$.

Пример: Пусть даны два множества: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Тогда их пересечением будет множество $A \cap B = \{3, 4\}$, так как только элементы 3 и 4 содержатся в обоих множествах одновременно.

Ответ: Пересечением двух множеств называется множество всех общих элементов этих множеств.

2. Что называют объединением двух множеств?

Объединением двух множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств: либо множеству $A$, либо множеству $B$, либо им обоим.

Обозначается объединение символом $\cup$. Запись $C = A \cup B$ читается как "множество $C$ есть объединение множеств $A$ и $B$".

Формально определение объединения записывается так: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$.

Пример: Пусть даны два множества: $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$. Тогда их объединением будет множество $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Обратите внимание, что общий элемент 3 включается в результирующее множество только один раз.

Ответ: Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

3. Как находят пересечение трёх и более множеств? Объединение трёх и более множеств?

Операции пересечения и объединения можно применять к любому количеству множеств. Принцип остается тем же, что и для двух множеств.

Пересечение трёх и более множеств

Пересечением трёх и более множеств является множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат каждому из этих множеств. Для нахождения пересечения, например, трёх множеств $A$, $B$ и $C$ (обозначается $A \cap B \cap C$), можно действовать последовательно: сначала найти пересечение первых двух множеств $D = A \cap B$, а затем найти пересечение результата с третьим множеством: $A \cap B \cap C = D \cap C$. Порядок выполнения операции не важен благодаря свойству ассоциативности: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$.

Пример: $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{2, 3, 4, 5\}$, $C = \{3, 4, 5, 6\}$.
$A \cap B = \{2, 3, 4\}$.
$(A \cap B) \cap C = \{2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4\}$.
Следовательно, $A \cap B \cap C = \{3, 4\}$.

Объединение трёх и более множеств

Объединением трёх и более множеств является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств $A$, $B$ и $C$ (обозначается $A \cup B \cup C$) также находится последовательно. Сначала находят объединение двух множеств $D = A \cup B$, а затем объединяют результат с третьим: $A \cup B \cup C = D \cup C$. Эта операция также ассоциативна: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$.

Пример: $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3, 4\}$, $C = \{4, 5\}$.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$.
$(A \cup B) \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Следовательно, $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Ответ: Пересечение (объединение) трёх и более множеств находят, последовательно применяя операцию пересечения (объединения) к парам множеств. Пересечение содержит элементы, общие для всех множеств, а объединение — элементы, входящие хотя бы в одно из множеств.

4. Что называют разностью двух множеств?

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

Обозначается разность символом $\setminus$ или знаком минус $-$. Запись $C = A \setminus B$ читается как "множество $C$ есть разность множеств $A$ и $B$".

Формально определение разности записывается так: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$.

Важно отметить, что в общем случае $A \setminus B \neq B \setminus A$.

Пример: Пусть даны множества $A = \{1, 2, 3, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5, 6\}$.
Разностью $A \setminus B$ будет множество $\{1, 2\}$, так как элементы 1 и 2 есть в $A$, но их нет в $B$.
Разностью $B \setminus A$ будет множество $\{5, 6\}$, так как элементы 5 и 6 есть в $B$, но их нет в $A$.

Ответ: Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, которое содержит все элементы множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.

5. Как с помощью диаграмм Эйлера иллюстрируют пересечение, объединение и разность двух множеств?

Диаграммы Эйлера (часто в этом контексте их называют диаграммами Венна) — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между множествами. Каждое множество изображается в виде круга или другой замкнутой фигуры. Взаимоотношения между множествами, такие как пересечение, объединение и разность, иллюстрируются через взаимное расположение этих фигур и закрашивание соответствующих областей.

Пересечение ($A \cap B$)
Иллюстрируется закрашиванием общей области двух кругов, то есть той части, где они перекрываются. Эта область представляет элементы, принадлежащие обоим множествам одновременно.

A B

Объединение ($A \cup B$)
Иллюстрируется закрашиванием всей площади, занимаемой обоими кругами, включая их общую часть. Эта область представляет все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств.

A B

Разность ($A \setminus B$)
Иллюстрируется закрашиванием той части круга $A$, которая не перекрывается с кругом $B$. Эта область представляет элементы, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$.

A B

Ответ: На диаграммах Эйлера множества изображают кругами; их пересечение — это область перекрытия кругов, объединение — вся область, занимаемая кругами, а разность $A \setminus B$ — это часть круга $A$, не входящая в круг $B$. Соответствующая область закрашивается.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения Вопросы? расположенного на странице 15 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению Вопросы? (с. 15), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.