Номер 2.7, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.7, страница 16.

Условие.

2.7. Найдите пересечение множеств A и B, если:

1) $A = \{x \mid x < 19\}, B = \{x \mid x \in \mathbf{N}, x > 11\};$

2) $A = \{x \mid x = 4n, n \in \mathbf{N}\}, B = \{x \mid x = 6n, n \in \mathbf{N}\};$

3) $A = \{(x, y) \mid 2x - y = 1\}, B = \{(x, y) \mid x + y = 5\}.$

Решение.

1) $A = \{x | x < 19\}, B = \{x | x \in \mathbb{N}, x > 11\}$

Пересечение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cap B$, содержит все элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Множество $A$ состоит из всех чисел, меньших 19.

Множество $B$ состоит из всех натуральных чисел ($\mathbb{N}$), которые больше 11. То есть, $B = \{12, 13, 14, 15, \dots \}$.

Элементы пересечения $x \in A \cap B$ должны удовлетворять обоим условиям: $x < 19$ и одновременно ($x \in \mathbb{N}$ и $x > 11$).

Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство для натурального числа $x$: $11 < x < 19$.

Натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству, это: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Следовательно, пересечением множеств является множество, состоящее из этих чисел.

Ответ: $A \cap B = \{12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}$.

2) $A = \{x | x = 4n, n \in \mathbb{N}\}, B = \{x | x = 6n, n \in \mathbb{N}\}$

Множество $A$ состоит из всех натуральных чисел, кратных 4: $A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots \}$.

Множество $B$ состоит из всех натуральных чисел, кратных 6: $B = \{6, 12, 18, 24, 30, \dots \}$.

Пересечение $A \cap B$ будет содержать все числа, которые кратны и 4, и 6. Такие числа являются общими кратными чисел 4 и 6.

Чтобы найти множество всех общих кратных, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим числа 4 и 6 на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$

Наименьшее общее кратное находится как произведение всех простых множителей в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях:
$НОК(4, 6) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Таким образом, все элементы пересечения должны быть кратны 12. Это все натуральные числа вида $12k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Ответ: $A \cap B = \{x | x = 12n, n \in \mathbb{N}\}$.

3) $A = \{(x, y) | 2x - y = 1\}, B = \{(x, y) | x + y = 5\}$

Множества $A$ и $B$ состоят из упорядоченных пар чисел $(x, y)$, которые можно интерпретировать как координаты точек на плоскости.

Множество $A$ — это множество всех точек, лежащих на прямой, заданной уравнением $2x - y = 1$.

Множество $B$ — это множество всех точек, лежащих на прямой, заданной уравнением $x + y = 5$.

Пересечение $A \cap B$ состоит из точек (пар $(x, y)$), которые принадлежат обеим прямым, то есть являются решением системы из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}2x - y = 1 \\x + y = 5\end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(2x - y) + (x + y) = 1 + 5$
$3x = 6$
$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в любое из уравнений системы, например, во второе, чтобы найти $y$:
$2 + y = 5$
$y = 5 - 2$
$y = 3$

Таким образом, система имеет единственное решение — пару чисел $(2, 3)$. Эта пара и является единственным элементом пересечения множеств $A$ и $B$.

Ответ: $A \cap B = \{(2, 3)\}$.