Номер 2.10, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.10, страница 16.

Условие.

2.10. Известно, что для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cap B = A$. Найдите множество $A$.

Решение.

По условию задачи, для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cap B = A$.

Пересечение двух множеств $A \cap B$ содержит только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Равенство $A \cap B = A$ означает, что все элементы, принадлежащие множеству $A$, также принадлежат и пересечению $A \cap B$. Это, в свою очередь, означает, что все элементы множества $A$ должны также принадлежать множеству $B$.

Таким образом, условие $A \cap B = A$ эквивалентно тому, что множество $A$ является подмножеством множества $B$, то есть $A \subseteq B$.

В задаче сказано, что это равенство выполняется для любого множества $B$. Следовательно, множество $A$ должно быть подмножеством любого множества $B$.

Рассмотрим частный случай, выбрав в качестве множества $B$ пустое множество, то есть $B = \emptyset$. Тогда условие $A \subseteq B$ примет вид $A \subseteq \emptyset$.

Единственным подмножеством пустого множества является само пустое множество. Отсюда следует, что $A$ может быть только пустым множеством.

Проверим, удовлетворяет ли $A = \emptyset$ исходному условию. Если $A = \emptyset$, то равенство $A \cap B = A$ превращается в $\emptyset \cap B = \emptyset$. Это равенство верно для любого множества $B$, так как пересечение любого множества с пустым множеством всегда есть пустое множество.

Следовательно, искомое множество $A$ — это пустое множество.

Ответ: $A = \emptyset$ (пустое множество).