Номер 2.16, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.16, страница 17.

Условие.

2.16. Известно, что для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cup B = B$. Найдите множество $A$.

Решение.

По условию задачи, для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cup B = B$.

Объединение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Равенство $A \cup B = B$ означает, что при добавлении к множеству $B$ всех элементов из множества $A$, итоговое множество не изменяется. Это возможно только в том случае, если все элементы множества $A$ уже содержатся в множестве $B$. Формально это записывается как $A \subseteq B$ (множество $A$ является подмножеством множества $B$).

Ключевым моментом в условии является то, что это свойство ($A \subseteq B$) должно выполняться для любого множества $B$. Чтобы найти множество $A$, мы можем выбрать в качестве $B$ какое-нибудь конкретное множество.

Наиболее удобным выбором в данном случае является пустое множество, то есть $B = \emptyset$. Пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента.

Подставим $B = \emptyset$ в исходное равенство:

$A \cup \emptyset = \emptyset$

По определению операции объединения, объединение любого множества $A$ с пустым множеством равно самому множеству $A$:

$A \cup \emptyset = A$

Из двух последних равенств следует, что $A = \emptyset$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное множество $A = \emptyset$ исходному условию для любого множества $B$. Подставим $A = \emptyset$ в равенство $A \cup B = B$:

$\emptyset \cup B = B$

Это равенство истинно для любого множества $B$ по определению объединения с пустым множеством. Следовательно, единственное множество $A$, удовлетворяющее условию, — это пустое множество.

Ответ: $A = \emptyset$.