Вопросы?, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - страница 21.

Условие.

1. Как найти количество элементов множества $A \cup B$?

2. Как найти количество элементов множества $A \cup B \cup C$?

3. В каком случае говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие?

Решение.

1. Как найти количество элементов множества A ∪ B?

Количество элементов в объединении двух множеств (обозначается $|A \cup B|$) находится с помощью формулы включений-исключений. Чтобы найти это число, необходимо сложить количество элементов в каждом из множеств ($|A|$ и $|B|$) и вычесть из этой суммы количество элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно, то есть находятся в их пересечении ($|A \cap B|$). Вычитание необходимо, так как при простом сложении $|A| + |B|$ общие элементы учитываются дважды.

Математически это выражается формулой: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Ответ: Чтобы найти количество элементов множества $A \cup B$, нужно к сумме количеств элементов множеств $A$ и $B$ прибавить количество элементов в их пересечении $A \cap B$. Формула: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

2. Как найти количество элементов множества A ∪ B ∪ C?

Для нахождения количества элементов в объединении трех множеств используется та же логика принципа включений-исключений. Сначала мы складываем количество элементов в каждом из множеств. Затем вычитаем количество элементов во всех попарных пересечениях, так как они были посчитаны более одного раза. Однако при этом элементы, находящиеся в пересечении всех трех множеств, были сначала трижды посчитаны, а затем трижды вычтены. Поэтому их нужно снова добавить, прибавив количество элементов в пересечении всех трех множеств.

Формула для трех множеств: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Ответ: Количество элементов множества $A \cup B \cup C$ вычисляется по формуле: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$.

3. В каком случае говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие?

Взаимно однозначное соответствие (также называемое биекцией) между двумя множествами $A$ и $B$ — это такое правило, по которому каждому элементу множества $A$ сопоставляется один и только один элемент множества $B$, и при этом каждый элемент множества $B$ оказывается сопоставленным одному и только одному элементу множества $A$.

Иными словами, можно образовать пары элементов, взяв по одному из каждого множества, так, что все элементы обоих множеств будут задействованы, и ни один не останется без пары. Для конечных множеств это означает, что они содержат одинаковое количество элементов.

Ответ: Говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества можно сопоставить единственный элемент второго, и наоборот, каждому элементу второго множества можно сопоставить единственный элемент первого.