Номер 3.3, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.3, страница 22.

Условие.

3.3. Из анкетирования, проведённого в классе, выяснилось, что из 30 учащихся класса у 18 есть брат, у 14 — сестра, а у 10 учащихся есть сестра и брат. Есть ли в этом классе учащиеся, у которых нет ни сестры, ни брата?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятиями из теории множеств. Пусть общее число учащихся в классе — это универсальное множество $U$, размер которого $|U| = 30$.

Введем два подмножества этого универсального множества:

• $B$ — множество учащихся, у которых есть брат. По условию, размер этого множества $|B| = 18$.
• $S$ — множество учащихся, у которых есть сестра. По условию, размер этого множества $|S| = 14$.

Из условия также известно, что у 10 учащихся есть и сестра, и брат. Это количество соответствует пересечению множеств $B$ и $S$. Размер этого пересечения $|B \cap S| = 10$.

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сначала найти общее количество учащихся, у которых есть хотя бы один родственник (брат или сестра). Это количество равно размеру объединения множеств $B$ и $S$, то есть $|B \cup S|$.

Для нахождения размера объединения двух множеств используется формула включений-исключений:

$|B \cup S| = |B| + |S| - |B \cap S|$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$|B \cup S| = 18 + 14 - 10 = 32 - 10 = 22$

Таким образом, 22 учащихся в классе имеют либо брата, либо сестру, либо обоих.

Теперь найдем количество учащихся, у которых нет ни сестры, ни брата. Для этого нужно из общего числа учащихся в классе вычесть количество учащихся, у которых есть хотя бы один из них:

Количество учащихся без братьев и сестер = $|U| - |B \cup S| = 30 - 22 = 8$.

Поскольку мы получили положительное число (8), это означает, что в классе действительно есть учащиеся, у которых нет ни сестры, ни брата.

Ответ: Да, в этом классе есть учащиеся, у которых нет ни сестры, ни брата. Их 8 человек.