Номер 3.10, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.10, страница 23.

Условие.

3.10. Каждому элементу множества ${n, n + 1, n + 2}$, где $n \in N$, поставили в соответствие остаток от деления этого элемента на 3. Установлено ли таким образом взаимно однозначное соответствие между множествами ${n, n + 1, n + 2}$ и ${0, 1, 2}$?

Решение.

Рассмотрим два множества: $A = \{n, n + 1, n + 2\}$, где $n \in \mathbb{N}$, и $B = \{0, 1, 2\}$. Соответствие ставит каждому элементу из множества $A$ в пару его остаток от деления на 3. Чтобы это соответствие было взаимно однозначным (биекцией), необходимо, чтобы оно было одновременно инъективным и сюръективным.

1. Инъективность: разным элементам из множества $A$ должны соответствовать разные элементы из множества $B$.
2. Сюръективность: каждому элементу из множества $B$ должен соответствовать хотя бы один элемент из множества $A$.

Множество $A$ состоит из трех последовательных натуральных чисел. Рассмотрим, какие остатки они могут давать при делении на 3. Существует три возможных случая для числа $n$:

• Случай 1: Остаток от деления $n$ на 3 равен 0.
  Тогда $n \pmod 3 = 0$.
  Для следующего числа: $(n + 1) \pmod 3 = 1$.
  Для последнего числа: $(n + 2) \pmod 3 = 2$.
  В этом случае мы получаем набор остатков $\{0, 1, 2\}$.

• Случай 2: Остаток от деления $n$ на 3 равен 1.
  Тогда $n \pmod 3 = 1$.
  Для следующего числа: $(n + 1) \pmod 3 = 2$.
  Для последнего числа: $(n + 2) \pmod 3 = (3k+1+2) \pmod 3 = 3(k+1) \pmod 3 = 0$.
  В этом случае мы получаем набор остатков $\{1, 2, 0\}$.

• Случай 3: Остаток от деления $n$ на 3 равен 2.
  Тогда $n \pmod 3 = 2$.
  Для следующего числа: $(n + 1) \pmod 3 = (3k+2+1) \pmod 3 = 3(k+1) \pmod 3 = 0$.
  Для последнего числа: $(n + 2) \pmod 3 = (3k+2+2) \pmod 3 = (3(k+1)+1) \pmod 3 = 1$.
  В этом случае мы получаем набор остатков $\{2, 0, 1\}$.

Во всех трех возможных случаях мы видим, что трем разным числам $n, n+1, n+2$ соответствуют три разных остатка $0, 1, 2$. Это означает, что соответствие является инъективным.

Также, во всех случаях, множество полученных остатков $\{0, 1, 2\}$ в точности совпадает с множеством $B$. Это означает, что для каждого элемента из $B$ нашелся прообраз в $A$, то есть соответствие является сюръективным.

Поскольку установленное соответствие является и инъективным, и сюръективным, оно является взаимно однозначным.

Ответ: Да, установлено.