Номер 3.15, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.15, страница 23.

Условие.

3.15. Рассматриваются шестизначные числа $\overline{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6}$. Каких чисел больше: тех, у которых $a_2 > a_1, a_4 > a_3, a_6 > a_5$, или тех, у которых $a_2 < a_1, a_4 < a_3, a_6 < a_5$?

Решение.

Для решения этой задачи сравним количество шестизначных чисел, удовлетворяющих каждому из двух условий. Обозначим число $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$. Условия накладываются на три независимые пары цифр: $(a_1, a_2)$, $(a_3, a_4)$ и $(a_5, a_6)$. Общее количество чисел в каждой группе будет произведением числа возможных вариантов для каждой пары.

1. Сравнение для пар $(a_3, a_4)$ и $(a_5, a_6)$

Рассмотрим пару цифр $(a_3, a_4)$. Каждая из цифр $a_3$ и $a_4$ может принимать любое значение от 0 до 9. Всего существует $10 \times 10 = 100$ возможных пар $(a_3, a_4)$.

Условия $a_4 > a_3$ и $a_4 < a_3$ требуют, чтобы цифры были различны ($a_3 \neq a_4$). Количество пар с одинаковыми цифрами ($a_3 = a_4$) равно 10 (от (0,0) до (9,9)).

Следовательно, количество пар с различными цифрами равно $100 - 10 = 90$.

Для любой пары различных цифр $\{x, y\}$, где $x \neq y$, можно составить два упорядоченных набора: $(x, y)$ и $(y, x)$. Если, например, $x < y$, то пара $(x, y)$ удовлетворяет условию $a_4 > a_3$, а пара $(y, x)$ — условию $a_4 < a_3$. Таким образом, 90 пар с различными цифрами делятся поровну между этими двумя условиями.

Количество пар, где $a_4 > a_3$, равно $90 / 2 = 45$.
Количество пар, где $a_4 < a_3$, также равно $90 / 2 = 45$.

Аналогичные рассуждения верны и для пары $(a_5, a_6)$. Количество вариантов для них также одинаково: по 45 для каждого из условий $a_6 > a_5$ и $a_6 < a_5$.

2. Сравнение для пары $(a_1, a_2)$

Здесь ситуация иная, так как $a_1$ — первая цифра шестизначного числа, и она не может быть нулем. То есть $a_1 \in \{1, 2, ..., 9\}$, в то время как $a_2 \in \{0, 1, ..., 9\}$. Эта асимметрия нарушает равенство.

Подсчитаем количество пар $(a_1, a_2)$, удовлетворяющих каждому условию:

• Случай $a_2 > a_1$:
  Если $a_1 = 1$, то $a_2$ может быть $2, 3, ..., 9$ (8 вариантов).
  Если $a_1 = 2$, то $a_2$ может быть $3, 4, ..., 9$ (7 вариантов).
  ...
  Если $a_1 = 8$, то $a_2$ может быть $9$ (1 вариант).
  Общее количество вариантов: $8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = \frac{8 \times 9}{2} = 36$.
• Случай $a_2 < a_1$:
  Если $a_1 = 1$, то $a_2$ может быть $0$ (1 вариант).
  Если $a_1 = 2$, то $a_2$ может быть $0, 1$ (2 варианта).
  ...
  Если $a_1 = 9$, то $a_2$ может быть $0, 1, ..., 8$ (9 вариантов).
  Общее количество вариантов: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45$.

Таким образом, для первой пары цифр существует 36 вариантов, где $a_2 > a_1$, и 45 вариантов, где $a_2 < a_1$.

3. Итоговое сравнение

Пусть $N_1$ — количество чисел, у которых $a_2 > a_1, a_4 > a_3, a_6 > a_5$.
$N_1 = (\text{число пар для } a_2 > a_1) \times (\text{число пар для } a_4 > a_3) \times (\text{число пар для } a_6 > a_5)$
$N_1 = 36 \times 45 \times 45$

Пусть $N_2$ — количество чисел, у которых $a_2 < a_1, a_4 < a_3, a_6 < a_5$.
$N_2 = (\text{число пар для } a_2 < a_1) \times (\text{число пар для } a_4 < a_3) \times (\text{число пар для } a_6 < a_5)$
$N_2 = 45 \times 45 \times 45$

Сравнивая $N_1$ и $N_2$, мы видим, что $36 \times 45 \times 45 < 45 \times 45 \times 45$. Следовательно, $N_1 < N_2$.

Ответ: больше чисел, у которых $a_2 < a_1, a_4 < a_3, a_6 < a_5$.