Номер 3.21, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.21, страница 24.

Условие.

3.21. Автобусные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что количество всех «счастливых» билетов чётно.

Решение.

Для доказательства разобьем все «счастливые» билеты на пары.

Пусть у нас есть «счастливый» билет с номером $N = a_1a_2a_3a_4a_5a_6$. По определению, сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх:

$a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$

Сопоставим каждому такому билету $N$ другой билет $N'$, номер которого $b_1b_2b_3b_4b_5b_6$ получается по следующему правилу: каждая новая цифра $b_i$ равна $9 - a_i$.

$b_i = 9 - a_i$

Так как $a_i$ — это цифра от 0 до 9, то $b_i$ также будет целым числом от 0 до 9, то есть цифрой. Таким образом, $N'$ — это корректный номер билета.

Проверим, является ли билет $N'$ «счастливым». Для этого найдем сумму первых трёх и последних трёх его цифр.

Сумма первых трёх цифр билета $N'$:

$S_1' = b_1 + b_2 + b_3 = (9 - a_1) + (9 - a_2) + (9 - a_3) = 27 - (a_1 + a_2 + a_3)$

Сумма последних трёх цифр билета $N'$:

$S_2' = b_4 + b_5 + b_6 = (9 - a_4) + (9 - a_5) + (9 - a_6) = 27 - (a_4 + a_5 + a_6)$

Поскольку исходный билет $N$ был «счастливым», мы знаем, что $a_1 + a_2 + a_3 = a_4 + a_5 + a_6$. Из этого следует, что $27 - (a_1 + a_2 + a_3) = 27 - (a_4 + a_5 + a_6)$, а значит, $S_1' = S_2'$.

Это доказывает, что если билет $N$ «счастливый», то и билет $N'$ тоже «счастливый».

Теперь убедимся, что билеты $N$ и $N'$ всегда различны. Если бы они были одинаковы ($N = N'$), то для каждой цифры выполнялось бы равенство $a_i = b_i$.

$a_i = 9 - a_i$

$2a_i = 9$

$a_i = 4.5$

Но $a_i$ должна быть целой цифрой. Полученное равенство невозможно. Следовательно, $N \neq N'$.

Таким образом, мы можем сгруппировать все «счастливые» билеты в пары $(N, N')$. Каждому «счастливому» билету соответствует другой, не совпадающий с ним, «счастливый» билет. Если мы применим наше преобразование к билету $N'$, мы получим исходный билет $N$, так как $9 - (9 - a_i) = a_i$.

Поскольку все множество «счастливых» билетов можно разбить на непересекающиеся пары, их общее количество обязательно является чётным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Количество всех «счастливых» билетов чётно.