Номер 3.24, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.24, страница 24.

Условие.

3.24. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей (считая слева направо), или тех, у которых каждая следующая цифра не меньше предыдущей и каждая цифра не больше $5$?

Решение.

Для того чтобы определить, каких пятизначных чисел больше, необходимо вычислить количество чисел в каждой из двух групп, описанных в условии, и сравнить полученные результаты.

Числа, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей

Пусть пятизначное число представлено как $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$, где $d_i$ — это его цифры. Условие "каждая следующая цифра больше предыдущей" означает, что $d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5$.

Из этого неравенства следует два факта: во-первых, все цифры в числе различны; во-вторых, они расположены в строго возрастающем порядке.

Поскольку число является пятизначным, его первая цифра $d_1$ не может быть нулём. Так как $d_1$ — наименьшая из всех цифр числа, то ноль не может входить в набор цифр, из которых составляется число. Если бы ноль был в наборе, он бы занял первую позицию, и число перестало бы быть пятизначным (например, 01357 — это четырехзначное число).

Таким образом, мы должны выбрать 5 различных цифр из множества ненулевых цифр $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. После того как 5 цифр выбраны, их можно расположить в порядке возрастания единственным способом. Следовательно, количество таких чисел равно числу способов выбрать 5 элементов из 9, то есть числу сочетаний $C_9^5$.

Вычислим это количество:

$N_1 = C_9^5 = \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$.

Ответ: существует 126 пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей.

Числа, у которых каждая следующая цифра не меньше предыдущей и каждая цифра не больше 5

Для этой группы чисел $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ должны выполняться следующие условия:

1. Каждая следующая цифра не меньше предыдущей: $d_1 \le d_2 \le d_3 \le d_4 \le d_5$.

2. Каждая цифра не больше 5: $d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

Число должно быть пятизначным, поэтому $d_1 \neq 0$. Из второго условия следует, что $d_1 \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Так как $d_1 \ge 1$ и последовательность цифр не убывает, все остальные цифры также должны быть больше или равны 1. Это означает, что все цифры числа выбираются из множества $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Наша задача — найти количество неубывающих последовательностей длины 5, составленных из цифр $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Это задача о нахождении числа сочетаний с повторениями. Мы выбираем 5 цифр из 5 доступных видов с возможностью повторения. Порядок выбора не имеет значения, так как для любого набора цифр существует только один способ расположить их в неубывающем порядке.

Количество таких сочетаний с повторениями из $n$ по $k$ находится по формуле $\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \binom{n+k-1}{k}$. В нашем случае $n=5$ (виды цифр) и $k=5$ (длина числа).

Вычислим это количество:

$N_2 = \bar{C}_5^5 = C_{5+5-1}^5 = C_9^5 = \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.

Ответ: существует 126 пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра не меньше предыдущей и каждая цифра не больше 5.

Сравнивая количество чисел в первой группе ($N_1 = 126$) и во второй группе ($N_2 = 126$), мы приходим к выводу, что их количества равны.

Ответ: Количество чисел в обеих группах одинаково.