Вопросы?, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - страница 27.

Условие.

1. Какие множества называют равномощными?

2. Какое множество называют счётным?

Решение.

1. Какие множества называют равномощными?

Два множества $A$ и $B$ называют равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, то есть каждому элементу множества $A$ можно поставить в соответствие ровно один элемент множества $B$, и наоборот, каждый элемент множества $B$ соответствует ровно одному элементу множества $A$.

Математически это означает, что существует функция $f: A \to B$, которая является биекцией. Биекция — это функция, которая одновременно:

• инъективна (каждому элементу из $B$ соответствует не более одного элемента из $A$);
• сюръективна (для каждого элемента из $B$ найдётся соответствующий ему элемент в $A$).

Равномощность множеств $A$ и $B$ означает, что они имеют одинаковую мощность (кардинальное число), что обозначается как $|A| = |B|$ или $A \sim B$. Это понятие позволяет сравнивать размеры множеств, в том числе и бесконечных.

Например, множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ равномощно множеству целых положительных чётных чисел $E = \{2, 4, 6, ...\}$, поскольку можно установить биекцию $f(n) = 2n$ для каждого $n \in \mathbb{N}$.

Ответ: Равномощными называют множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию).

2. Какое множество называют счётным?

Множество называют счётным, если оно либо конечно, либо равномощно множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$.

Это означает, что все элементы счётного множества можно "пересчитать" или пронумеровать.

1. Конечное множество является счётным по определению. Например, множество $\{5, 10, 15\}$.
2. Счётно-бесконечное множество — это бесконечное множество, которое равномощно множеству натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Элементы такого множества можно расположить в виде бесконечной последовательности $a_1, a_2, a_3, ...$, где каждому натуральному числу $n$ соответствует ровно один элемент $a_n$.

Примерами счётно-бесконечных множеств являются множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$ и множество всех рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Множества, которые не являются счётными, называют несчётными. Примером такого множества является множество действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: Счётным называют множество, которое является конечным или равномощным множеству натуральных чисел.