Номер 3.26, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.26, страница 24.

Условие.

3.26. Известно, что $3x^3y = 4$ и $x^2z^3 = -3$. Найдите значение выражения:

1) $4x^5yz^3$;

2) $\frac{1}{2}x^8y^2z^3$;

3) $-x^9z^9y$.

Решение.

По условию задачи нам даны два равенства:

1) $3x^3y = 4$

2) $x^2z^3 = -3$

Из первого равенства мы можем выразить $x^3y$:

$x^3y = \frac{4}{3}$

Теперь найдем значения для каждого из предложенных выражений, используя известные нам соотношения.

1) $4x^5yz^3$

Чтобы использовать данные равенства, преобразуем выражение, разложив $x^5$ на множители $x^3$ и $x^2$. Это позволит нам сгруппировать переменные в известные комбинации.

$4x^5yz^3 = 4 \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot y \cdot z^3$

Теперь сгруппируем множители следующим образом:

$4 \cdot (x^3y) \cdot (x^2z^3)$

Подставим известные значения $x^3y = \frac{4}{3}$ и $x^2z^3 = -3$:

$4 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot (-3) = 4 \cdot 4 \cdot \left(\frac{-3}{3}\right) = 16 \cdot (-1) = -16$

Ответ: -16

2) $\frac{1}{2}x^8y^2z^3$

Преобразуем данное выражение. Заметим, что $y^2$ можно получить, возведя в квадрат выражение $x^3y$. При этом $x$ будет в степени $3 \cdot 2 = 6$. Представим $x^8$ как $x^6 \cdot x^2$.

$\frac{1}{2}x^8y^2z^3 = \frac{1}{2} \cdot (x^6 \cdot x^2) \cdot y^2 \cdot z^3$

Сгруппируем множители так, чтобы выделить известные части:

$\frac{1}{2} \cdot (x^6y^2) \cdot (x^2z^3)$

Выражение $x^6y^2$ является квадратом от $x^3y$:

$x^6y^2 = (x^3y)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{16}{9}\right) \cdot (-3) = \frac{1 \cdot 16 \cdot (-3)}{2 \cdot 9} = \frac{-48}{18}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{-48}{18} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $-\frac{8}{3}$

3) $-x^9z^9y$

Преобразуем выражение. Заметим, что $z^9$ можно получить, возведя в куб выражение $z^3$. Соответственно, $x^6z^9 = (x^2z^3)^3$. Представим $x^9$ как $x^3 \cdot x^6$.

$-x^9z^9y = - (x^3 \cdot x^6) \cdot z^9 \cdot y$

Сгруппируем множители:

$- (x^3y) \cdot (x^6z^9)$

Выражение $x^6z^9$ является кубом от $x^2z^3$:

$x^6z^9 = (x^2z^3)^3 = (-3)^3 = -27$

Подставим известные значения в сгруппированное выражение:

$- \left(\frac{4}{3}\right) \cdot (-27) = \frac{4 \cdot 27}{3} = 4 \cdot 9 = 36$

Ответ: 36